In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é com as condições e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno no final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos encontrar posteriormente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeira ordem, vamos assumir uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Então, .
Segunda condição:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Como :
Somando e :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições de contorno dadas é:

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