In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é
com as condições
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno no final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos encontrar posteriormente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeira ordem, vamos assumir uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Então,
.
Segunda condição:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Como
:
Somando
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições de contorno dadas é:
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Derive as seguintes funções:
Derive as seguintes funções:
In Problems 46 and 47 find a particular solution of the given differential equation. Use a CAS as an aid in carrying out differentiations, simplifications, and algebra
Consider the differential equation
, where
, and
are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is
.
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form
, where
. Explain how we know that
.
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(a) If
(b) If
© If