integral-1^2 ln (x+2) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de ln(x + 2) de x = -1 até x = 2. Isso está no conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes, que vai ser útil para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Isso ajuda quando a gente tem um produto de duas funções, como é o caso aqui com ln(x + 2).

Passo 3

Vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Uma boa escolha é:
u = ln(x + 2) e dv = dx
Assim, precisamos encontrar du e v para aplicar a fórmula.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx[ln(x + 2)] , dx = 1x + 2 , dx
E encontrando v:
v = integral dv = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln(x + 2) , dx = u , v - integral v , du = x ln(x + 2) - integral xx + 2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral xx + 2 , dx
Podemos reescrever a fração assim:
xx + 2 = 1 - 2x + 2
Ent��o a integral fica:
integral (1 - 2x + 2) dx = integral 1 , dx - 2 integral 1x + 2 , dx = x - 2 ln|x + 2| + C

Passo 7

Voltando para a integração por partes:
integral ln(x + 2) , dx = x ln(x + 2) - ( x - 2 ln(x + 2) ) + C = 2 ln(x + 2) - x + C

Passo 8

Como a gente tem uma integral definida, vamos avaliar de -1 até 2:
[2 ln(x + 2) - x]-1^2 = (2 ln(4) - 2) - (2 ln(1) - (-1))
Sabemos que ln(1) = 0, então:
= 2 ln(4) - 2 + 1 = 2 ln(4) - 1

Resposta

O valor da integral é 2 ln(4) - 1.

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