Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de
de
até
. Isso está no conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes, que vai ser útil para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Isso ajuda quando a gente tem um produto de duas funções, como é o caso aqui com
.
Passo 3
Vamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Uma boa escolha é:
Assim, precisamos encontrar
e
para aplicar a fórmula.
Passo 4
Calculando
:
E encontrando
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Vamos simplificar a integral que ficou:
Podemos reescrever a fração assim:
Ent��o a integral fica:
Passo 7
Voltando para a integração por partes:
Passo 8
Como a gente tem uma integral definida, vamos avaliar de
até
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
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Consider the differential equation
, where
, and
are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is
.
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form
, where
. Explain how we know that
.
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(a) If
(b) If
© If
Calcule:
;