Consider the problem
If
, let
with
. Show that problem (48) has nontrivial solutions only if
is a solution of the equation
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (PDE) que envolve derivadas em
e
. O problema também tem condições de contorno e uma condição inicial. O que precisamos mostrar é que, para existir soluções não triviais (ou seja, soluções que não são todas zero), o parâmetro
tem que satisfazer a equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e entender um pouco sobre equações diferenciais ordinárias e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma solução da forma
. Esse é um método comum chamado separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
.
Passo 3
Substituindo
na equação original
, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Aqui, usamos o fato de que cada lado da igualdade depende de apenas uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante negativa
.
Passo 4
Agora, temos duas equações separadas:
Vamos focar na equação para
:
Sabemos que, se
, podemos escrever
com
. Então, a equação fica:
Passo 5
A solução geral dessa equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
Aplicando a primeira condição de contorno
, temos:
Então,
e a solução simplifica para:
Passo 7
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Então, na condição de contorno:
Podemos fatorar
(que não é zero, já que queremos soluções não triviais):
Como
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Resposta
A condição para que existam soluções não triviais é que
satisfaça a equação
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Consider the equation
where
, and
are constants. Let
, where
is constant, and find the corresponding partial differential equation for
.
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that satisfies the given set of boundary conditions.
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. Suppose that at time
, the end
is cooled to
while the end
is heated to
, and both are thereafter maintained at those temperatures.