Consider the problem
If , let with . Show that problem (48) has nontrivial solutions only if is a solution of the equation

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (PDE) que envolve derivadas em e . O problema também tem condições de contorno e uma condição inicial. O que precisamos mostrar é que, para existir soluções não triviais (ou seja, soluções que não são todas zero), o parâmetro tem que satisfazer a equação . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e entender um pouco sobre equações diferenciais ordinárias e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma solução da forma . Esse é um método comum chamado separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de e outra que depende só de .

Passo 3

Substituindo na equação original , temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Aqui, usamos o fato de que cada lado da igualdade depende de apenas uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante negativa .

Passo 4

Agora, temos duas equações separadas:
Vamos focar na equação para :
Sabemos que, se , podemos escrever com . Então, a equação fica:

Passo 5

A solução geral dessa equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando a primeira condição de contorno , temos:
Então, e a solução simplifica para:

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno . Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, na condição de contorno:
Podemos fatorar (que não é zero, já que queremos soluções não triviais):
Como , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Resposta

A condição para que existam soluções não triviais é que satisfaça a equação

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Consider the equation
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