Consider the problem
alpha^2 ux x & =ut, & 00 u(0, t) & =0, ux(L, t)+gamma u(L, t)=0, & t & >0 u(x, 0) & =f(x), & 0 <= x & <= L
If lambda>0, let lambda=mu^2 with mu>0. Show that problem (48) has nontrivial solutions only if mu is a solution of the equation
mu cos (mu L)+gamma sin (mu L)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (PDE) que envolve derivadas em e . O problema também tem condições de contorno e uma condição inicial. O que precisamos mostrar é que, para existir soluções não triviais (ou seja, soluções que não são todas zero), o parâmetro tem que satisfazer a equação . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e entender um pouco sobre equações diferenciais ordinárias e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma solução da forma . Esse é um método comum chamado separação de variáveis, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de e outra que depende só de .

Passo 3

Substituindo alpha^2 X''(x) T(t) = X(x) T'(t) na equação original X''(x)X(x) = 1alpha^2 T'(t)T(t) = -lambda , temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Aqui, usamos o fato de que cada lado da igualdade depende de apenas uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante negativa .

Passo 4

Agora, temos duas equações separadas:
X''(x) + lambda X(x) = 0
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
Vamos focar na equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
X''(x) + mu^2 X(x) = 0
Sabemos que, se , podemos escrever com . Então, a equação fica:

Passo 5

A solução geral dessa equação diferencial é:
X(x) = A cos(mu x) + B sin(mu x)
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando a primeira condição de contorno X(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 , temos:
X(x) = B sin(mu x)
Então, e a solução simplifica para:

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno X'(x) = B mu cos(mu x) . Primeiro, calculamos a derivada de X'(L) + gamma X(L) = B mu cos(mu L) + gamma B sin(mu L) = 0 :
B [mu cos(mu L) + gamma sin(mu L)] = 0
Então, na condição de contorno:
mu cos(mu L) + gamma sin(mu L) = 0
Podemos fatorar (que não é zero, já que queremos soluções não triviais):
Como , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Resposta

A condição para que existam soluções não triviais é que mu cos(mu L) + gamma sin(mu L) = 0 satisfaça a equação

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