Consider the initial value problem
(b) Determine the value of for which the solution first intersects the line .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial . Nosso objetivo aqui é resolver essa equação e descobrir para qual valor de a solução alcança o valor 12. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por :
Isso transforma a equação no seguinte formato:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração. Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, para :
Segundo, para , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecendo que é uma solução particular para uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado dessa integral é:
Então, a solução geral fica:
Simplificando, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Então, a solução da equação diferencial é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de para o qual . Vamos igualar a solução a 12:
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 17:
Dividindo por 4:
Essa equação não tem solução analítica simples, então resolveremos numericamente. Usando métodos como o de Newton-Raphson ou uma calculadora gráfica, encontramos que o primeiro valor de que satisfaz essa equação é aproximadamente:

Resposta

segundos.

Exercícios relacionados

In each of Problems 24 through 26:
Consider the initial value problem
Consider the initial value problem
Find the value of for which the solution touches, but does not cross, the -axis.
In each of Problems 24 through 26: