Consider the initial value problem
(b) Determine the value of
for which the solution first intersects the line
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação e descobrir para qual valor de
a solução
alcança o valor 12. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso transforma a equação no seguinte formato:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, para
:
Segundo, para
, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecendo que é uma solução particular para uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado dessa integral é:
Então, a solução geral fica:
Simplificando, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Então, a solução da equação diferencial é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
para o qual
. Vamos igualar a solução a 12:
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 17:
Dividindo por 4:
Essa equação não tem solução analítica simples, então resolveremos numericamente. Usando métodos como o de Newton-Raphson ou uma calculadora gráfica, encontramos que o primeiro valor de
que satisfaz essa equação é aproximadamente:
Resposta
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In each of Problems 24 through 26:
Consider the initial value problem
Consider the initial value problem
Find the value of
for which the solution touches, but does not cross, the
-axis.
In each of Problems 24 through 26: