Consider the initial value problem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que trata de uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular as integrais do lado direito:
- Para
, usamos integração por partes. Seja e . Depois de aplicar a integração por partes, o resultado é:
- Para
, a integral é direta:
Passo 7
Substituindo as integrais de volta na equação, temos:
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituímos
de volta na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: