Consider the initial value problem
y' - 3/2 y = 3 t + 2 e^t, y(0) = y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que trata de uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular as integrais do lado direito:
  1. Para , usamos integração por partes. Seja e . Depois de aplicar a integração por partes, o resultado é:
  1. Para , a integral é direta:

Passo 7

Substituindo as integrais de volta na equação, temos:

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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