Consider the initial value problem
Find the value of
for which the solution touches, but does not cross, the
-axis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que a solução da equação toque, mas não cruze, o eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e entender o que significa a solução tocar o eixo
sem cruzá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Ela é linear e tem a forma geral:
onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Passo 4
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos integração por partes. Se deixarmos
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Então,
.
Passo 8
A solução geral fica:
Passo 9
Queremos que a solução toque o eixo
, ou seja,
em algum ponto
, mas sem cruzar. Isso significa que nesse ponto, a derivada também deve ser zero:
e
.
Passo 10
Vamos substituir
na solução:
E calcular
:
Impondo
:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, isolamos
:
Para
ser positivo, precisamos que
seja negativo:
Passo 12
Voltando à primeira equação, substituímos
:
Resolvendo para
, encontramos que:
Resposta
O valor de
que faz com que a solução toque, mas não cruze, o eixo
é
.
Exercícios relacionados
Consider the initial value problem
(b) Determine the value of
for which the solution first intersects the line
.
In each of Problems 24 through 26:
In each of Problems 24 through 26:
Consider the initial value problem
Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for
.