Consider the initial value problem
Find the value of for which the solution touches, but does not cross, the -axis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a solução da equação toque, mas não cruze, o eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e entender o que significa a solução tocar o eixo sem cruzá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Ela é linear e tem a forma geral:
onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por :

Passo 4

A esquerda da equação agora é a derivada de :
Vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Para resolver a integral, usamos integração por partes. Se deixarmos e , então e .
Aplicando integração por partes:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, .

Passo 8

A solução geral fica:

Passo 9

Queremos que a solução toque o eixo , ou seja, em algum ponto , mas sem cruzar. Isso significa que nesse ponto, a derivada também deve ser zero: e .

Passo 10

Vamos substituir na solução:
E calcular :
Impondo :

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, isolamos :
Para ser positivo, precisamos que seja negativo:

Passo 12

Voltando à primeira equação, substituímos :
Resolvendo para , encontramos que:

Resposta

O valor de que faz com que a solução toque, mas não cruze, o eixo é .

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Consider the initial value problem
(b) Determine the value of for which the solution first intersects the line .
In each of Problems 24 through 26:
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Consider the initial value problem
Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for .