In each of Problems 24 through 26:
t y' + 2 y = sen(t) / t, y(-pi / 2) = a, t < 0

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, sabemos que e que . Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por (lembrando que ):
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Portanto, o fator integrante é:
Como , podemos escrever .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrar ambos os lados para encontrar :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolver para :

Passo 7

Aplicar a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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