In each of Problems 24 through 26:
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, sabemos que
e que
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
(lembrando que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Como
, podemos escrever
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolver para
:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Consider the initial value problem
Find the value of
for which the solution touches, but does not cross, the
-axis.
Consider the initial value problem
(b) Determine the value of
for which the solution first intersects the line
.
Consider the initial value problem
Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for
.
Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais
.