In each of Problems 24 through 26:
(sen t) y' + (cos t) y = e^t, y(1) = a, 0 < t < pi

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos para encontrar a solução geral da equação diferencial:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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