In each of Problems 24 through 26:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo linear:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Consider the initial value problem
Consider the initial value problem
(a) Find the solution of this initial value problem and describe its behavior for large
.
Consider the initial value problem
(b) Determine the value of
for which the solution first intersects the line
.
Consider the initial value problem
Find the value of
for which the solution touches, but does not cross, the
-axis.