Consider the initial value problem
y' + (1/4) y = 3 + 2 cos(2t), y(0) = 0
(a) Find the solution of this initial value problem and describe its behavior for large t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você me passou. O enunciado pede para encontrarmos a solução da equação diferencial de primeira ordem:
Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a solução e depois analisar como ela se comporta quando fica grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Temos uma equação linear de primeira ordem na forma:
Onde e . Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo é direta:

Passo 6

Vamos calcular a integral do lado direito separando os termos:
Primeiro, a integral de :
Agora, a integral de . Para isso, usamos integração por partes ou a fórmula de integração de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
Aplicando com e :
Simplificando:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabendo que e :
Então:

Passo 9

Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Para grandes valores de , o termo exponencial tende a zero, então a solução se aproxima de:
Isso significa que, para valores grandes de , a solução oscila em torno do valor constante 12 com amplitude determinada pelos termos oscilatórios.

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