Consider the initial value problem
(a) Find the solution of this initial value problem and describe its behavior for large
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você me passou. O enunciado pede para encontrarmos a solução da equação diferencial de primeira ordem:
Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a solução e depois analisar como ela se comporta quando
fica grande.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Temos uma equação linear de primeira ordem na forma:
Onde
e
. Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo é direta:
Passo 6
Vamos calcular a integral do lado direito separando os termos:
Primeiro, a integral de
:
Agora, a integral de
. Para isso, usamos integração por partes ou a fórmula de integração de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
Aplicando com
e
:
Simplificando:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabendo que
e
:
Então:
Passo 9
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Para grandes valores de
, o termo exponencial
tende a zero, então a solução se aproxima de:
Isso significa que, para valores grandes de
, a solução oscila em torno do valor constante 12 com amplitude determinada pelos termos oscilatórios.