In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para resolver uma equação diferencial de valor inicial. A equação é:
Vamos precisar usar equações diferenciais lineares de primeira ordem e fatores integrantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Para isso, dividimos toda a equação por
(já que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
A integral à esquerda simplifica para:
Para resolver
, usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Então,
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução da equação diferencial é: