In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
t y' + 2 y = sen(t), y(pi / 2) = 1, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para resolver uma equação diferencial de valor inicial. A equação é:
Vamos precisar usar equações diferenciais lineares de primeira ordem e fatores integrantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Para isso, dividimos toda a equação por (já que ):
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Calculando a integral:
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para encontrar :
A integral à esquerda simplifica para:
Para resolver , usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Então,

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Sabemos que e , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim,

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão de :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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