In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para resolver uma equação diferencial de valor inicial. A equação é:
Vamos precisar usar equações diferenciais lineares de primeira ordem e fatores integrantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Para isso, dividimos toda a equação por
(já que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
A integral à esquerda simplifica para:
Para resolver
, usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Então,
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Consider the initial value problem
(a) Find the solution of this initial value problem and describe its behavior for large
.
Consider the initial value problem