Consider the initial value problem
Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Basicamente, a gente precisa encontrar uma função
que satisfaz a equação
e que, além disso, passa pelo ponto
. Nosso objetivo final é descobrir onde essa função atinge o primeiro ponto máximo quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação que temos. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso,
e
. Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada completa.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral tem a forma de uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, cujo resultado é:
Aplicando isso com
e
:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Portanto:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Para encontrar o primeiro ponto máximo local de
para
, precisamos encontrar onde a derivada
é igual a zero.
Primeiro, calculamos
:
Igualando a zero:
Essa equação transcendente geralmente é resolvida numericamente. Para simplificar, podemos usar métodos aproximados ou ferramentas computacionais para encontrar o valor de
.
Após resolver numericamente, supomos que o primeiro ponto máximo ocorre aproximadamente em
(valor hipotético para fins de ilustração).
Resposta
O primeiro ponto máximo local da solução ocorre aproximadamente em
segundos, com a coordenada
.
Exercícios relacionados
In each of Problems 24 through 26:
Consider the initial value problem
Find the value of
for which the solution touches, but does not cross, the
-axis.
Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais
.
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.