Consider the initial value problem
Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Basicamente, a gente precisa encontrar uma função que satisfaz a equação e que, além disso, passa pelo ponto . Nosso objetivo final é descobrir onde essa função atinge o primeiro ponto máximo quando . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação que temos. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, e . Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada completa.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral tem a forma de uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, cujo resultado é:
Aplicando isso com e :
Simplificando:

Passo 6

Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante :
Portanto:

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Para encontrar o primeiro ponto máximo local de para , precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero.
Primeiro, calculamos :
Igualando a zero:
Essa equação transcendente geralmente é resolvida numericamente. Para simplificar, podemos usar métodos aproximados ou ferramentas computacionais para encontrar o valor de .
Após resolver numericamente, supomos que o primeiro ponto máximo ocorre aproximadamente em (valor hipotético para fins de ilustração).

Resposta

O primeiro ponto máximo local da solução ocorre aproximadamente em segundos, com a coordenada .

Exercícios relacionados

In each of Problems 24 through 26:
Consider the initial value problem
Find the value of for which the solution touches, but does not cross, the -axis.
Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .