Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla dada por
O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral. Para isso, vamos precisar saber sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração, além de entender como determinar os limites de integração após a inversão.

Passo 2

Vamos esboçar a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 4 e, para cada , varia de a 2. Isso significa que a região está limitada pelas curvas e , com entre 0 e 4.
Para visualizar:
  • A curva é uma parábola que começa na origem (0,0) e sobe até quando .
  • A linha horizontal corta a parábola no ponto (4,2).
Assim, a região de integração é a área entre a parábola e a linha , para de 0 a 4.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para inverter, precisamos expressar em termos de .
Observando a região:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (já que implica ).
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral invertida:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original:

Resposta

O valor da integral é .

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Find the coordinates of the first local maximum point of the solution for .
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Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .
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