Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais integral0^4 integralraizx^2 x cos (y^5) d y d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla dada por
integral0^4 integralraizx^2 x cos (y^5) , dy , dx
O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral. Para isso, vamos precisar saber sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração, além de entender como determinar os limites de integração após a inversão.

Passo 2

Vamos esboçar a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 4 e, para cada , varia de a 2. Isso significa que a região está limitada pelas curvas e , com entre 0 e 4.
Para visualizar:
  • A curva é uma parábola que começa na origem (0,0) e sobe até quando .
  • A linha horizontal corta a parábola no ponto (4,2).
Assim, a região de integração é a área entre a parábola e a linha , para de 0 a 4.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a integral0^2 integral0^y^2 x cos (y^5) , dx , dy e depois em relação a . Para inverter, precisamos expressar em termos de .
Observando a região:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (já que implica ).
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral invertida:
integral0^2 integral0^y^2 x cos (y^5) , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a integral0^y^2 x cos (y^5) , dx = cos (y^5) integral0^y^2 x , dx = cos (y^5) [ x^22 ]0^y^2 = cos (y^5) cdot y^42 :
integral0^2 y^42 cos (y^5) , dy
Agora, substituímos na integral externa:
integral y^42 cos(u) cdot du5y^4 = 110 integral cos(u) , du = 110 sin(u) + C
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja 110 sin(y^5) |0^2 = 110 ( sin(32) - sin(0) ) = sin(32)10 , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original:

Resposta

O valor da integral é .

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