Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla dada por
O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral. Para isso, vamos precisar saber sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração, além de entender como determinar os limites de integração após a inversão.
Passo 2
Vamos esboçar a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 4 e, para cada , varia de a 2. Isso significa que a região está limitada pelas curvas e , com entre 0 e 4.
Para visualizar:
A curva é uma parábola que começa na origem (0,0) e sobe até quando .
A linha horizontal corta a parábola no ponto (4,2).
Assim, a região de integração é a área entre a parábola e a linha , para de 0 a 4.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para inverter, precisamos expressar em termos de .
Observando a região:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até (já que implica ).
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral invertida:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .