Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descrever o sólido cujo volume é dado pela integral tripla . Isso envolve cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração nessa coordenada e visualizar o sólido formado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura.
A integral está estruturada com variando de 0 a 2, de 0 a (ou seja, uma volta completa ao redor do eixo ), e varia de até .

Passo 3

Vamos analisar os limites de :
  • A parte inferior é , que representa um paraboloide que se abre para cima.
  • A parte superior é , que também é um paraboloide, mas se abre para baixo.
Essas duas superfícies se interceptam quando , ou seja, quando , então e . Isso confirma os limites de na integral.

Passo 4

Como varia de 0 a , estamos considerando todo o círculo ao redor do eixo . Portanto, o sólido é simétrico em torno desse eixo.

Passo 5

Então, o sólido descrito pela integral é a região limitada pelos dois paraboloides e , revolvidos em torno do eixo , e restringidos a .

Resposta

O sólido é a região simétrica em torno do eixo limitada pelos paraboloides e , abrangendo valores de de 0 a 2. Basicamente, é a interseção desses dois paraboloides formando uma espécie de “lente” em torno do eixo vertical.

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