Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral integral0^2 integral0^2 pi integralrho^2^8-rho^2 rho d z d theta d rho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descrever o sólido cujo volume é dado pela integral tripla integral0^2 integral0^2 pi integralrho^2^8-rho^2 rho , dz , dtheta , drho. Isso envolve cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração nessa coordenada e visualizar o sólido formado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por (rho, theta, z), onde:
  • rho é a distância do ponto ao eixo z,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z,
  • z é a altura.
A integral está estruturada com rho variando de 0 a 2, theta de 0 a 2pi (ou seja, uma volta completa ao redor do eixo z), e z varia de rho^2 até 8 - rho^2.

Passo 3

Vamos analisar os limites de z:
  • A parte inferior é z = rho^2, que representa um paraboloide que se abre para cima.
  • A parte superior é z = 8 - rho^2, que também é um paraboloide, mas se abre para baixo.
Essas duas superfícies se interceptam quando rho^2 = 8 - rho^2, ou seja, quando 2rho^2 = 8, então rho^2 = 4 e rho = 2. Isso confirma os limites de rho na integral.

Passo 4

Como theta varia de 0 a 2pi, estamos considerando todo o círculo ao redor do eixo z. Portanto, o sólido é simétrico em torno desse eixo.

Passo 5

Então, o sólido descrito pela integral é a região limitada pelos dois paraboloides z = rho^2 e z = 8 - rho^2, revolvidos em torno do eixo z, e restringidos a rho <= 2.

Resposta

O sólido é a região simétrica em torno do eixo z limitada pelos paraboloides z = rho^2 e z = 8 - rho^2, abrangendo valores de rho de 0 a 2. Basicamente, é a interseção desses dois paraboloides formando uma espécie de “lente” em torno do eixo vertical.

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