Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descrever o sólido cujo volume é dado pela integral tripla
. Isso envolve cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração nessa coordenada e visualizar o sólido formado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura.
A integral está estruturada com
variando de 0 a 2,
de 0 a
(ou seja, uma volta completa ao redor do eixo
), e
varia de
até
.
Passo 3
Vamos analisar os limites de
:
- A parte inferior é
, que representa um paraboloide que se abre para cima. - A parte superior é
, que também é um paraboloide, mas se abre para baixo.
Essas duas superfícies se interceptam quando
, ou seja, quando
, então
e
. Isso confirma os limites de
na integral.
Passo 4
Como
varia de 0 a
, estamos considerando todo o círculo ao redor do eixo
. Portanto, o sólido é simétrico em torno desse eixo.
Passo 5
Então, o sólido descrito pela integral é a região limitada pelos dois paraboloides
e
, revolvidos em torno do eixo
, e restringidos a
.
Resposta
O sólido é a região simétrica em torno do eixo
limitada pelos paraboloides
e
, abrangendo valores de
de 0 a 2. Basicamente, é a interseção desses dois paraboloides formando uma espécie de “lente” em torno do eixo vertical.
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Esboce as regiōes de integraçāo, inverta a ordem de integraçāo e calcule as integrais
.
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.
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