In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem a equação
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos integração por partes:
Então temos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Simplificando
:
Isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Consider the initial value problem
(a) Find the solution of this initial value problem and describe its behavior for large
.