In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,
t * y' + (t + 1) * y = t, y(ln 2) = 1, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial inicial. A gente tem a equação com a condição inicial . O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, usamos integração por partes:
Então temos:

Passo 6

Resolvendo para :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Simplificando :
Isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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