In each of Problems 1 through 8, find the steady-state solution of the heat conduction equation alpha^2 * u_xx = u_t that satisfies the given set of boundary conditions.
u(0, t) = 0, u_x(L, t) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução em estado estacionário da equação de condução de calor, que é dada por . Além disso, temos as condições de contorno e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução em estado estacionário. Isso quer dizer que a temperatura da barra não está mudando com o tempo, ou seja, a derivada em relação ao tempo ( ) é zero. Então, podemos simplificar nossa equação original substituindo por 0:

Passo 3

Agora, nossa equação ficou mais simples: . Podemos dividir ambos os lados por (assumindo que ) para obter:
Isso é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A equação significa que a segunda derivada de u em relação a x é zero. Para encontrar u(x), precisamos integrar essa equaç��o duas vezes.
Primeira integração:
Onde C é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde D é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de C e D.
Primeira condição de contorno: .
Substituindo x = 0 na solução:
Segunda condição de contorno: .
Sabemos que , então:

Resposta

Com e , a solução em estado estacionário é:

Exercícios relacionados