In each of Problems 1 through 8, find the steady-state solution of the heat conduction equation
that satisfies the given set of boundary conditions.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução em estado estacionário da equação de condução de calor, que é dada por
. Além disso, temos as condições de contorno
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução em estado estacionário. Isso quer dizer que a temperatura da barra não está mudando com o tempo, ou seja, a derivada em relação ao tempo (
) é zero. Então, podemos simplificar nossa equação original substituindo
por 0:
Passo 3
Agora, nossa equação ficou mais simples:
. Podemos dividir ambos os lados por
(assumindo que
) para obter:
Isso é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. A equação
significa que a segunda derivada de
em relação a
é zero. Para encontrar
, precisamos integrar essa equa�o duas vezes.
Primeira integração:
Onde
é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição de contorno:
.
Substituindo na solução:
Substituindo
Segunda condição de contorno:
.
Sabemos que , então:
Sabemos que
Resposta
Com
e
, a solução em estado estacionário é:
Exercícios relacionados
Consider the problem
If
, let
with
. Show that problem (48) has nontrivial solutions only if
is a solution of the equation
Determine os limites, caso exista
Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of
. Suppose that at time
, the end
is cooled to
while the end
is heated to
, and both are thereafter maintained at those temperatures.
Consider a uniform bar of length
having an initial temperature distribution given by
. Assume that the temperature at the end
is held at
, while the end
is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition
.
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent