In each of Problems 1 through 8, find the steady-state solution of the heat conduction equation that satisfies the given set of boundary conditions.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução em estado estacionário da equação de condução de calor, que é dada por . Além disso, temos as condições de contorno e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução em estado estacionário. Isso quer dizer que a temperatura da barra não está mudando com o tempo, ou seja, a derivada em relação ao tempo ( ) é zero. Então, podemos simplificar nossa equação original substituindo por 0:

Passo 3

Agora, nossa equação ficou mais simples: . Podemos dividir ambos os lados por (assumindo que ) para obter:
Isso é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A equação significa que a segunda derivada de em relação a é zero. Para encontrar , precisamos integrar essa equaç��o duas vezes.
Primeira integração:
Onde é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de e .
Primeira condição de contorno: .
Substituindo na solução:
Segunda condição de contorno: .
Sabemos que , então:

Resposta

Com e , a solução em estado estacionário é:

Exercícios relacionados

Consider the problem
If , let with . Show that problem (48) has nontrivial solutions only if is a solution of the equation
Determine os limites, caso exista
Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of . Suppose that at time , the end is cooled to while the end is heated to , and both are thereafter maintained at those temperatures.
Consider a uniform bar of length having an initial temperature distribution given by . Assume that the temperature at the end is held at , while the end is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition .
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.