Seja R a região delimitada pelos gráficos das funções y = sen(pi x) e y = x^2 - x, com x em [0,1].
(b) Expresse a área de R em termos de uma integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício! A gente precisa achar a área da região que está entre os gráficos das funções e no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo. Isso é importante porque, na hora de montar a integral, a função de cima subtrai a de baixo.

Passo 3

Vamos comparar os valores das funções em alguns pontos dentro do intervalo [0,1]:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Vemos que, no meio do intervalo, está acima de .

Passo 4

Como está acima de no intervalo [0,1], a área da região pode ser expressa pela integral da diferença entre essas duas funções, de 0 a 1.

Passo 5

A fórmula da área fica assim:

Resposta

A área da região é dada por:

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