Considera o sistema em malha aberta:
Especificaões: (tempo de pico) e (sobressinal).
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema em malha aberta com a função de transferência:
E queremos verificar se dá para ajustar o valor de de modo que o sistema em malha fechada atenda duas especificações ao mesmo tempo:
  1. Tempo de Pico ( ): 1 segundo
  2. Sobressinal Máximo ( ): 5%
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de controle como função de transferência em malha fechada, tempo de pico, sobressinal máximo e como eles se relacionam com o fator de amortecimento ( ) e a frequência natural ( ) do sistema. A gente vai precisar dessas relações para encontrar o adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência em malha fechada para um sistema com ganho é dada por:
Esse é um sistema de segunda ordem, e podemos comparar com a forma padrão:
Aqui, é a frequência natural e é o fator de amortecimento.

Passo 3

Comparando as duas funções de transferência:
Daí, igualando os coeficientes:

Passo 4

Vamos usar as especificações dadas para encontrar e .
Primeiro, o sobressinal máximo ( ) está relacionado com o fator de amortecimento pela fórmula:
Queremos . Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Calculando e :
Distribuindo:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por 18.844:
Então,

Passo 6

Agora, vamos usar o tempo de pico ( ) para encontrar a frequência natural . A relação entre , e é dada por:
Queremos segundo e já encontramos . Vamos resolver para :
Calculando e :
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação :

Passo 8

Agora, vamos verificar se é possível atender às duas especificações simultaneamente. Calculamos que atende tanto ao tempo de pico de 1 segundo quanto ao sobressinal máximo de 5%. Portanto, é possível encontrar um valor de que satisfaça as duas especificações ao mesmo tempo.

Resposta

Sim, existe um valor de que atende ambas as especificações. O valor de é aproximadamente 18.835.

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