Considera o sistema em malha aberta:
Especificaões:
(tempo de pico) e
(sobressinal).
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema em malha aberta com a função de transferência:
E queremos verificar se dá para ajustar o valor de
de modo que o sistema em malha fechada atenda duas especificações ao mesmo tempo:
- Tempo de Pico (
): 1 segundo - Sobressinal Máximo (
): 5%
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de controle como função de transferência em malha fechada, tempo de pico, sobressinal máximo e como eles se relacionam com o fator de amortecimento (
) e a frequência natural (
) do sistema. A gente vai precisar dessas relações para encontrar o
adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência em malha fechada para um sistema com ganho
é dada por:
Esse é um sistema de segunda ordem, e podemos comparar com a forma padrão:
Aqui,
é a frequência natural e
é o fator de amortecimento.
Passo 3
Comparando as duas funções de transferência:
Daí, igualando os coeficientes:
-
⟹ -
Passo 4
Vamos usar as especificações dadas para encontrar
e
.
Primeiro, o sobressinal máximo (
) está relacionado com o fator de amortecimento
pela fórmula:
Queremos
. Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Calculando
e
:
Distribuindo:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por 18.844:
Então,
Passo 6
Agora, vamos usar o tempo de pico (
) para encontrar a frequência natural
. A relação entre
,
e
é dada por:
Queremos
segundo e já encontramos
. Vamos resolver para
:
Calculando
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Passo 8
Agora, vamos verificar se é possível atender às duas especificações simultaneamente. Calculamos
que atende tanto ao tempo de pico de 1 segundo quanto ao sobressinal máximo de 5%. Portanto, é possível encontrar um valor de
que satisfaça as duas especificações ao mesmo tempo.
Resposta
Sim, existe um valor de
que atende ambas as especificações. O valor de
é aproximadamente 18.835.