Considera o sistema em malha aberta:
G(s)=Ks(s+2)
Especificaões: tp=1 s (tempo de pico) e Mp=5 % (sobressinal).
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema em malha aberta com a função de transferência:
G(s) = Ks(s + 2)
E queremos verificar se dá para ajustar o valor de de modo que o sistema em malha fechada atenda duas especificações ao mesmo tempo:
  1. Tempo de Pico ( ): 1 segundo
  2. Sobressinal Máximo ( ): 5%
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de controle como função de transferência em malha fechada, tempo de pico, sobressinal máximo e como eles se relacionam com o fator de amortecimento ( ) e a frequência natural ( ) do sistema. A gente vai precisar dessas relações para encontrar o adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência em malha fechada para um sistema com ganho T(s) = G(s)1 + G(s) = Ks(s + 2)1 + Ks(s + 2) = Ks^2 + 2s + K é dada por:
T(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Esse é um sistema de segunda ordem, e podemos comparar com a forma padrão:
Aqui, é a frequência natural e é o fator de amortecimento.

Passo 3

Comparando as duas funções de transferência:
s^2 + 2s + K = s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Daí, igualando os coeficientes:

Passo 4

Vamos usar as especificações dadas para encontrar Mp = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) times 100% e .
Primeiro, o sobressinal máximo ( ) está relacionado com o fator de amortecimento pela fórmula:
Queremos . Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Resolvendo para 0.05 = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) :
ln(0.05) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-2.9957 = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Calculando 2.9957 = pi zetaraiz1 - zeta^2 :
2.9957 raiz1 - zeta^2 = pi zeta
Simplificando:
(2.9957)^2 (1 - zeta^2) = (pi zeta)^2
Multiplicando ambos os lados por 8.974 (1 - zeta^2) = 9.870 zeta^2 :
8.974 - 8.974zeta^2 = 9.870 zeta^2
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
8.974 = 9.870 zeta^2 + 8.974 zeta^2
Calculando 8.974 = (9.870 + 8.974) zeta^2 e 8.974 = 18.844 zeta^2 :
zeta^2 = 8.97418.844 approx 0.476
Distribuindo:
zeta approx raiz0.476 approx 0.69
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por 18.844:
Então,

Passo 6

Agora, vamos usar o tempo de pico ( tp = piomegan raiz1 - zeta^2 ) para encontrar a frequência natural 1 = piomegan raiz1 - (0.69)^2 . A relação entre 1 = piomegan times 0.724 , omegan times 0.724 = pi e omegan = pi0.724 approx 4.34 , rad/s é dada por:
Queremos segundo e já encontramos . Vamos resolver para :
Calculando e :
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 7

Agora que temos K = omegan^2 approx (4.34)^2 approx 18.835 , podemos encontrar usando a relação :

Passo 8

Agora, vamos verificar se é possível atender às duas especificações simultaneamente. Calculamos que atende tanto ao tempo de pico de 1 segundo quanto ao sobressinal máximo de 5%. Portanto, é possível encontrar um valor de que satisfaça as duas especificações ao mesmo tempo.

Resposta

Sim, existe um valor de que atende ambas as especificações. O valor de é aproximadamente 18.835.

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