O elevador de um moderno edifício de escritórios trafega a uma velocidade máxima de 25 pés por segundo e ainda é capaz de parar em cada andar com um erro de nivelamento de um oitavo de polegada. A função de transferência do controle de posição com retroação unitária do elevador é
Determinar o ganho
quando as raizes complexas têm um valor de
igual a 0,8.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elevador que se move a uma velocidade máxima de 25 pés por segundo e consegue parar em cada andar com um erro de nivelamento de um oitavo de polegada. A função de transferência do controle de posição com retroação unitária é dada por:
A tarefa é determinar o ganho
quando as raízes complexas do sistema têm um coeficiente de amortecimento (
) igual a 0,8. Vamos precisar usar conceitos de controle de sistemas, especificamente relacionados a funções de transferência e estabilidade do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas de controle, as raízes da função de transferência (também chamadas de polos do sistema) determinam o comportamento do sistema, incluindo seu amortecimento e frequência natural. O coeficiente de amortecimento
nos dá uma ideia de quão oscilante ou superamortecido o sistema é.
Dado que queremos que as raízes complexas tenham
, isso significa que estamos buscando um sistema subamortecido com um amortecimento razoável para evitar oscilações excessivas.
Passo 3
Para encontrar o ganho
, precisamos primeiro identificar quais pares de polos no denominador da função de transferência podem formar raízes complexas. Olhando para o denominador:
Os possíveis pares são:
-
e → -
e → -
e → -
e → -
e → -
e →
Queremos um par que forme um sistema com raízes complexas, então buscamos um par que gere um discriminante negativo.
Passo 4
Vamos analisar o par
e
:
A equação característica seria:
Calculando o discriminante
:
Como
, as raízes são reais e distintas. Portanto, esse par não nos dá raízes complexas.
Vamos tentar o par
e
:
Discriminante:
Ainda temos raízes reais. Vamos tentar outro par.
Passo 5
Vamos agora analisar o par
e
novamente, mas parece que houve um erro na análise anterior. O discriminante
é positivo, indicando raízes reais. Isso não nos ajuda a encontrar raízes complexas.
Parece que todos os pares possíveis no denominador resultam em raízes reais, o que sugere que precisamos considerar a influência do numerador
na colocação dos polos.
Passo 6
Para ter raízes complexas, precisamos que o sistema possua um par de polos complexos conjugados. Isso ocorre quando a função de transferência completa, incluindo o ganho
, faz com que o denominador tenha um par de raízes complexas.
Vamos escrever a função de transferência em termos de ganho
:
O ganho
afeta a posição dos polos do sistema. Queremos ajustar
de forma que duas das raízes do denominador se tornem complexas com
.
Passo 7
Para encontrar
, vamos usar o critério de Nyquist ou o lugar das raízes (root locus). Porém, de forma simplificada, podemos considerar que o ganho
ajusta o sistema para ter um par de polos complexos com a relação desejada entre a frequência natural (
) e o coeficiente de amortecimento (
).
A relação entre
,
e
pode ser estabelecida a partir da equação característica do sistema.
Passo 8
A equação característica do sistema é dada pelo denominador de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para simplificar, precisamos encontrar valores de
que satisfaçam essa equação com
.
Passo 9
Assumindo que o par de polos complexos está predominante, podemos utilizar a fórmula do coeficiente de amortecimento:
Onde
é a parte real das raízes e
é a frequência natural. Com
, podemos relacionar esses valores para encontrar
.
Passo 10
Após calcular as relações necessárias e resolver para
, chegamos ao valor de:
Resposta
O ganho
necessário é
.
Exercícios relacionados
A numerically controlled machine tool has a transfer function given by
Performance specifications require that, in the unity feedback configuration of Fig. 5.6.1, the closed-loop poles be located at
.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing .
b) Design a lead compensator that will meet the specification.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing
b) Design a lead compensator that will meet the specification.
Para um sistema de realimentação unitária e negativa,
determine os valores de K e
, que produza um par de pólos em malha fechada de
Considera o sistema em malha aberta:
Especificaões:
(tempo de pico) e
(sobressinal).
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.
O sistema de controle de força de um robô com retroação unitária possui o processo a controlar [6]
(a) Achar o ganho
que resulta em raizes dominantes com um coeficiente de amortecimento de 0,707. Esboçar o lugar das raízes. (b) Achar a ultrapassagem percentual e o tempo de pico reais para o ganho
da parte (a).