Considerando que a aceleração de um ponto material é a=25-3 s^2 e que o ponto parte do repouso, determine a velocidade na posição s=2, a posição quando a velocidade se anula novamente e a posição para a velocidade máxima. Considere s0=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que parte do repouso, ou seja, começa com velocidade zero. A aceleração dele depende da posição e é dada por . Nosso objetivo aqui é:
  1. Descobrir qual a velocidade do ponto quando ele está na posição .
  2. Encontrar a posição onde a velocidade volta a ser zero.
  3. Verificar em que posição a velocidade atinge o seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrando a aceleração para achar a velocidade e analisando essas expressões para encontrar as respostas que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade na posição v dvds = 25 - 3s^2 .
Sabemos que a aceleração v , dv = (25 - 3s^2) , ds é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( integral v , dv = integral (25 - 3s^2) , ds ), mas como 12v^2 = 25s - s^3 + C está em função de v^2 = 2(25s - s^3) , vamos usar a relação v = raiz2(25s - s^3) , onde v = raiz2(25 times 2 - 2^3) = raiz2(50 - 8) = raiz84 = 2raiz21 , m/s é a velocidade.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o ponto parte do repouso ( quando ), a constante . Portanto:
Agora, substituindo :

Passo 3

Agora, vamos descobrir em qual posição a velocidade volta a ser zero. Olha só a equação que encontramos para v^2 = 2(25s - s^3) :
0 = 2(25s - s^3) Rightarrow 25s - s^3 = 0
Para s(25 - s^2) = 0 :
s = 0 ou 25 - s^2 = 0 Rightarrow s = raiz25 = 5 , m
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, além do ponto inicial , a velocidade volta a ser zero na posição .

Passo 4

Por último, vamos achar a posição onde a velocidade é máxima. Olhando para a equação da velocidade:
v^2 = 2(25s - s^3)
A velocidade será máxima onde dds(25s - s^3) = 25 - 3s^2 = 0 é máxima. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a 25 - 3s^2 = 0 Rightarrow 3s^2 = 25 Rightarrow s^2 = 253 Rightarrow s = 5raiz3 = 5raiz33 , m e igualar a zero:
Resolvendo:

Resposta

  1. A velocidade na posição é .
  2. A posição onde a velocidade volta a ser zero é .
  3. A posição para a velocidade máxima é .

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