Considerando que a aceleração de um ponto material é
e que o ponto parte do repouso, determine a velocidade na posição
, a posição quando a velocidade se anula novamente e a posição para a velocidade máxima. Considere
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que parte do repouso, ou seja, começa com velocidade zero. A aceleração dele depende da posição
e é dada por
. Nosso objetivo aqui é:
- Descobrir qual a velocidade do ponto quando ele está na posição
. - Encontrar a posição onde a velocidade volta a ser zero.
- Verificar em que posição a velocidade atinge o seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrando a aceleração para achar a velocidade e analisando essas expressões para encontrar as respostas que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade na posição
.
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), mas como
está em função de
, vamos usar a relação
, onde
é a velocidade.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o ponto parte do repouso (
quando
), a constante
. Portanto:
Agora, substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos descobrir em qual posição a velocidade volta a ser zero. Olha só a equação que encontramos para
:
Para
:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, além do ponto inicial
, a velocidade volta a ser zero na posição
.
Passo 4
Por último, vamos achar a posição onde a velocidade é máxima. Olhando para a equação da velocidade:
A velocidade será máxima onde
é máxima. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo:
Resposta
- A velocidade na posição
é . - A posição onde a velocidade volta a ser zero é
. - A posição para a velocidade máxima é
.