Considerando que a aceleração de um ponto material é e que o ponto parte do repouso, determine a velocidade na posição , a posição quando a velocidade se anula novamente e a posição para a velocidade máxima. Considere .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que parte do repouso, ou seja, começa com velocidade zero. A aceleração dele depende da posição e é dada por . Nosso objetivo aqui é:
  1. Descobrir qual a velocidade do ponto quando ele está na posição .
  2. Encontrar a posição onde a velocidade volta a ser zero.
  3. Verificar em que posição a velocidade atinge o seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrando a aceleração para achar a velocidade e analisando essas expressões para encontrar as respostas que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade na posição .
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), mas como está em função de , vamos usar a relação , onde é a velocidade.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o ponto parte do repouso ( quando ), a constante . Portanto:
Agora, substituindo :

Passo 3

Agora, vamos descobrir em qual posição a velocidade volta a ser zero. Olha só a equação que encontramos para :
Para :
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, além do ponto inicial , a velocidade volta a ser zero na posição .

Passo 4

Por último, vamos achar a posição onde a velocidade é máxima. Olhando para a equação da velocidade:
A velocidade será máxima onde é máxima. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a zero:
Resolvendo:

Resposta

  1. A velocidade na posição é .
  2. A posição onde a velocidade volta a ser zero é .
  3. A posição para a velocidade máxima é .

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