Considerando que a aceleração de um ponto material é
e que o ponto parte do repouso, determine a velocidade na posição
, a posição quando a velocidade se anula novamente e a posição para a velocidade máxima. Considere
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto material que parte do repouso, ou seja, começa com velocidade zero. A aceleração dele depende da posição
e é dada por
. Nosso objetivo aqui é:
- Descobrir qual a velocidade do ponto quando ele está na posição
. - Encontrar a posição onde a velocidade volta a ser zero.
- Verificar em que posição a velocidade atinge o seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrando a aceleração para achar a velocidade e analisando essas expressões para encontrar as respostas que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade na posição
.
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), mas como
está em função de
, vamos usar a relação
, onde
é a velocidade.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o ponto parte do repouso (
quando
), a constante
. Portanto:
Agora, substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos descobrir em qual posição a velocidade volta a ser zero. Olha só a equação que encontramos para
:
Para
:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, além do ponto inicial
, a velocidade volta a ser zero na posição
.
Passo 4
Por último, vamos achar a posição onde a velocidade é máxima. Olhando para a equação da velocidade:
A velocidade será máxima onde
é máxima. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo:
Resposta
- A velocidade na posição
é . - A posição onde a velocidade volta a ser zero é
. - A posição para a velocidade máxima é
.
Exercícios relacionados
Se um projétil é disparado da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial
, em uma direção que faz um ângulo
com a horizontal, calcule o tempo necessário para que o projétil cruze uma linha que passa pela origem e faz um ângulo
com a horizontal.
Um bloco de massa
está na base de um plano inclinado que forma um ângulo de
com a horizontal. Esse bloco é empurrado por uma força paralela ao plano inclinado de módulo F ao longo de uma distância D (distância paralela ao plano). Há atrito entre o plano e o bloco, cujo coeficiente de atrito vale
. Determine em função de
e g (aceleração da gravidade):
a) trabalho da força normal, da força peso, da força de atrito e da forç̧a
.
a)
Considere o potencial unidimensional
Faça um gráfico do potencial e discuta o movimento nos vários valores de
. O movimento é limitado ou não tem limitação? Onde estão os valores de equilíbrio? Eles são estáveis ou instáveis? Encontre os pontos de reversão para
. O valor de
é uma constante positiva.
Considerando o exercício anterior, se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado é
, qual o ângulo
que o bloco começará seu movimento estando inicialmente está em repouso?