Faça um gráfico do potencial e discuta o movimento nos vários valores de . O movimento é limitado ou não tem limitação? Onde estão os valores de equilíbrio? Eles são estáveis ou instáveis? Encontre os pontos de reversão para . O valor de é uma constante positiva.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica Clássica que envolve um potencial unidimensional dado por:
Precisamos plotar o gráfico desse potencial, discutir o movimento para diferentes valores de , determinar se o movimento é limitado ou ilimitado, identificar os pontos de equilíbrio e verificar se são estáveis ou instáveis. Além disso, devemos encontrar os pontos de reversão para a energia . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cinemática e dinâmica de partículas em potenciais, equilíbrio estático e energia mecânica.
Passo 2
Plotando o Potencial :
Para entender como a partícula se comporta sob esse potencial, primeiro vamos plotar em função de . Isso nos ajudará a visualizar as áreas onde a energia potencial é maior ou menor.
Como e são constantes positivas, podemos analisar o comportamento de observando seus limites para indo para e para :
Quando próximo de 0:
Quando tende ao infinito:
Portanto, o gráfico de terá um mínimo em com valor e se aproximará de 0 à medida que aumenta.
Passo 3
Determinando os Pontos de Equilíbrio:
Os pontos de equilíbrio ocorrem onde a derivada do potencial em relação a é zero:
Vamos calcular essa derivada:
Aplicando a regra do quociente:
Igualando a zero e simplificando:
Resolvendo e :
Dividindo por 2:
Fazendo :
Resolvendo a equação quadrática:
Assim:
→ →
→ descartamos, pois não pode ser negativo.
Portanto, os pontos de equilíbrio são e .
Passo 4
Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio:
Para determinar se os pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis, analisamos a segunda derivada do potencial:
Em :
Calculando a segunda derivada e avaliando em , observamos que:
Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável (mínimo do potencial).
Em :
Avaliando a segunda derivada nestes pontos, encontramos que:
Isso indica que são pontos de equilíbrio instáveis (máximos do potencial).
Passo 5
Analisando o Movimento para :
Os pontos de reversão ocorrem onde a energia cinética é zero, ou seja, onde .
Dado , igualamos à expressão de :
Simplificando:
Então, as soluções são:
→
→
Portanto, os pontos de reversão para são e .
Passo 6
Conclusões sobre o Movimento:
Movimento Limitado ou Ilimitado:
Observando o gráfico de , vemos que tende a zero quando tende ao infinito. Como a energia é igual ao valor mínimo do potencial em , a partícula está restrita a se mover dentro das regiões onde . Portanto, o movimento é limitado entre os pontos de reversão .
Pontos de Equilíbrio:
: Ponto de equilíbrio estável (mínimo do potencial).
: Pontos de equilíbrio instáveis (máximos do potencial).
Pontos de Reversão para :
Os pontos onde a partícula muda de direção são e .
Resposta
O movimento da partícula sob o potencial é limitado entre e . Os pontos de equilíbrio estão em (estável) e (instáveis). Os pontos de reversão para a energia são e .