Considere o potencial unidimensional
U(x)=-W d^2(x^2+d^2)x^4+8 d^4
Faça um gráfico do potencial e discuta o movimento nos vários valores de x. O movimento é limitado ou não tem limitação? Onde estão os valores de equilíbrio? Eles são estáveis ou instáveis? Encontre os pontos de reversão para E=-W / 8. O valor de W é uma constante positiva.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica Clássica que envolve um potencial unidimensional dado por:
U(x)=-W d^2(x^2+d^2)x^4+8 d^4
Precisamos plotar o gráfico desse potencial, discutir o movimento para diferentes valores de , determinar se o movimento é limitado ou ilimitado, identificar os pontos de equilíbrio e verificar se são estáveis ou instáveis. Além disso, devemos encontrar os pontos de reversão para a energia . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cinemática e dinâmica de partículas em potenciais, equilíbrio estático e energia mecânica.

Passo 2

Plotando o Potencial U(x) approx -W d^2 cdot d^28 d^4 = -W d^48 d^4 = -W8 :
Para entender como a partícula se comporta sob esse potencial, primeiro vamos plotar U(x) approx -W d^2 x^2x^4 = -W d^2x^2 0 em função de . Isso nos ajudará a visualizar as áreas onde a energia potencial é maior ou menor.
Como e são constantes positivas, podemos analisar o comportamento de observando seus limites para indo para e para :
  • Quando próximo de 0:
  • Quando tende ao infinito:
Portanto, o gráfico de terá um mínimo em com valor e se aproximará de 0 à medida que aumenta.

Passo 3

Determinando os Pontos de Equilíbrio:
Os pontos de equilíbrio ocorrem onde a derivada do potencial em relação a dUdx = 0 é zero:
U(x) = -W d^2(x^2 + d^2)x^4 + 8 d^4
Vamos calcular essa derivada:
dUdx = -W d^2 cdot 2x (x^4 + 8 d^4) - (-W d^2(x^2 + d^2)) cdot 4x^3(x^4 + 8 d^4)^2
Aplicando a regra do quociente:
-2x (x^4 + 8 d^4) + 4x^3(x^2 + d^2) = 0 x [ -2(x^4 + 8 d^4) + 4x^2(x^2 + d^2) ] = 0
Igualando a zero e simplificando:
x [ -2x^4 - 16 d^4 + 4x^4 + 4x^2 d^2 ] = 0 x (2x^4 + 4x^2 d^2 - 16 d^4) = 0
x^4 + 2x^2 d^2 - 8 d^4 = 0
Resolvendo y^2 + 2 d^2 y - 8 d^4 = 0 e y = -2 d^2 pm raiz(2 d^2)^2 + 32 d^42 y = -2 d^2 pm raiz4 d^4 + 32 d^42 y = -2 d^2 pm raiz36 d^42 y = -2 d^2 pm 6 d^22 :
Dividindo por 2:
Fazendo :
Resolvendo a equação quadrática:
Assim:
  • → descartamos, pois não pode ser negativo.
Portanto, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 4

Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio:
Para determinar se os pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis, analisamos a segunda derivada do potencial:
d^2Udx^2
  • Em d^2Udx^2 g|x=0 > 0 :
Calculando a segunda derivada e avaliando em d^2Udx^2 g|x = pm raiz2 d < 0 , observamos que:
Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável (mínimo do potencial).
  • Em :
Avaliando a segunda derivada nestes pontos, encontramos que:
Isso indica que são pontos de equilíbrio instáveis (máximos do potencial).

Passo 5

Analisando o Movimento para -W8 = -W d^2(x^2 + d^2)x^4 + 8 d^4 :
Os pontos de reversão ocorrem onde a energia cinética é zero, ou seja, onde W8 = W d^2(x^2 + d^2)x^4 + 8 d^4 18 = d^2(x^2 + d^2)x^4 + 8 d^4 x^4 + 8 d^4 = 8 d^2(x^2 + d^2) x^4 + 8 d^4 = 8 d^2 x^2 + 8 d^4 x^4 - 8 d^2 x^2 = 0 x^2(x^2 - 8 d^2) = 0 .
Dado , igualamos à expressão de :
Simplificando:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de reversão para são e .

Passo 6

Conclusões sobre o Movimento:
  • Movimento Limitado ou Ilimitado:
    Observando o gráfico de , vemos que tende a zero quando tende ao infinito. Como a energia é igual ao valor mínimo do potencial em , a partícula está restrita a se mover dentro das regiões onde . Portanto, o movimento é limitado entre os pontos de reversão .
  • Pontos de Equilíbrio:
    • : Ponto de equilíbrio estável (mínimo do potencial).
    • : Pontos de equilíbrio instáveis (máximos do potencial).
  • Pontos de Reversão para :
    Os pontos onde a partícula muda de direção são e .

Resposta

O movimento da partícula sob o potencial é limitado entre e . Os pontos de equilíbrio estão em (estável) e (instáveis). Os pontos de reversão para a energia são e .

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