Resolva os seguintes PVI(b) U''(t) = -16 U(t), U(0) = 0, U'(0) = 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI que é um problema de valor inicial. A equação que a gente tem é com as condições iniciais e . Pra resolver isso, vamos mexer com equações diferenciais de segunda ordem, especificamente as de equação linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar a solução geral da equação diferencial . Essa equação representa um movimento harmônico simples, tipo um pêndulo ou uma mola sem amortecimento.

Passo 3

Vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituindo , a gente tem:
Simplificando, fica:
Então, a equação característica é .

Passo 4

Resolvendo essa equação quadrática para :
Temos raízes complexas e .

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial :

Passo 7

Agora, aplicando a segunda condição inicial . Primeiro, vamos achar a derivada de :
Como :
Agora, substituindo :

Resposta

A solução específica do PVI é:

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