Resolva os seguintes PVI(b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI que é um problema de valor inicial. A equação que a gente tem é
com as condições iniciais
e
. Pra resolver isso, vamos mexer com equações diferenciais de segunda ordem, especificamente as de equação linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa achar a solução geral da equação diferencial
. Essa equação representa um movimento harmônico simples, tipo um pêndulo ou uma mola sem amortecimento.
Passo 3
Vamos escrever a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituindo
, a gente tem:
Simplificando, fica:
Então, a equação característica é
.
Passo 4
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Temos raízes complexas
e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
:
Passo 7
Agora, aplicando a segunda condição inicial
. Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Como
:
Agora, substituindo
:
Resposta
A solução específica do PVI é: