Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que
Passo 1
Vamos ver se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o conceito de transformações lineares, que precisam satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos checar a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a transformação deve satisfazer:
Vamos considerar e .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar e vetor em , a transformação deve satisfazer:
Considerando e um escalar :
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto, é uma transformação linear.