Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Vamos ver se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o conceito de transformações lineares, que precisam satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos checar a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a transformação deve satisfazer:
Vamos considerar e .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar e vetor em , a transformação deve satisfazer:
Considerando e um escalar :
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto, é uma transformação linear.

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Considerando e bases e : Determine ;
Seja o operador linear de tal que . Verifique se T é bijetora, se for, determine .