Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: T: R^3->R^3 tal que T(x, y, z)=(x, x, x)

Passo 1

Vamos ver se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o conceito de transformações lineares, que precisam satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos checar a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2) em T(u) = (x1, x1, x1) T(v) = (x2, x2, x2) T(u) + T(v) = (x1 + x2, x1 + x2, x1 + x2) , a transformação deve satisfazer:
Vamos considerar e .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar T(cu) = cT(u) e vetor T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx, cx, cx) em T(u) = (x, x, x) cT(u) = (cx, cx, cx) , a transformação deve satisfazer:
Considerando e um escalar :
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto, é uma transformação linear.

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