Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Vamos ver se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o conceito de transformações lineares, que precisam satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos checar a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
, a transformação deve satisfazer:
Vamos considerar
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar
e vetor
em
, a transformação deve satisfazer:
Considerando
e um escalar
:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto,
é uma transformação linear.