Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: T: R^3->R^3 tal que T(x, y, z)=(x-y, x+z, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a função , definida por , é uma Transformação Linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos como essas transformações funcionam e quais propriedades elas precisam ter para serem consideradas lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das duas principais características que uma Transformação Linear deve satisfazer: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Transformação Linear. Em termos simples, uma transformação linear é uma função que, quando aplicada a dois vetores somados, dá o mesmo resultado que somar as transformações desses vetores individualmente. Ou seja, ela preserva a adição. Além disso, se você multiplicar um vetor por um escalar e depois aplicar a transformação, o resultado deve ser o mesmo que multiplicar a transformação do vetor por esse escalar. Isso é a homogeneidade.

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Precisamos ver se T(u + v) = ( (x1 + x2) - (y1 + y2), (x1 + x2) + (z1 + z2), 0 ) para quaisquer vetores = (x1 + x2 - y1 - y2, x1 + x2 + z1 + z2, 0) e T(u) = (x1 - y1, x1 + z1, 0) em T(v) = (x2 - y2, x2 + z2, 0) .
Vamos supor T(u) + T(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + z1 + x2 + z2, 0 + 0) e = (x1 + x2 - y1 - y2, x1 + x2 + z1 + z2, 0) .
Então, .
Aplicando a esse resultado:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Como , a aditividade está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se cu = (c x, c y, c z) para qualquer vetor T(cu) = (c x - c y, c x + c z, 0) em = c(x - y, x + z, 0) e qualquer escalar T(u) = (x - y, x + z, 0) .
Vamos considerar cT(u) = c(x - y, x + z, 0) = (c(x - y), c(x + z), 0) sendo um número real e .
Multiplicando por :
Aplicando a esse resultado:
Simplificando:
Por outro lado, calculamos :
Vemos que , então a homogeneidade também está confirmada.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma Transformação Linear.

Exercícios relacionados