Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a função , definida por , é uma Transformação Linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos como essas transformações funcionam e quais propriedades elas precisam ter para serem consideradas lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das duas principais características que uma Transformação Linear deve satisfazer: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Transformação Linear. Em termos simples, uma transformação linear é uma função que, quando aplicada a dois vetores somados, dá o mesmo resultado que somar as transformações desses vetores individualmente. Ou seja, ela preserva a adição. Além disso, se você multiplicar um vetor por um escalar e depois aplicar a transformação, o resultado deve ser o mesmo que multiplicar a transformação do vetor por esse escalar. Isso é a homogeneidade.

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Precisamos ver se para quaisquer vetores e em .
Vamos supor e .
Então, .
Aplicando a esse resultado:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :
Como , a aditividade está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos considerar sendo um número real e .
Multiplicando por :
Aplicando a esse resultado:
Simplificando:
Por outro lado, calculamos :
Vemos que , então a homogeneidade também está confirmada.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma Transformação Linear.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que
Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que
Considerando e bases e : Determine ;