Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a função
, definida por
, é uma Transformação Linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos como essas transformações funcionam e quais propriedades elas precisam ter para serem consideradas lineares. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das duas principais características que uma Transformação Linear deve satisfazer: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é Transformação Linear. Em termos simples, uma transformação linear é uma função que, quando aplicada a dois vetores somados, dá o mesmo resultado que somar as transformações desses vetores individualmente. Ou seja, ela preserva a adição. Além disso, se você multiplicar um vetor por um escalar e depois aplicar a transformação, o resultado deve ser o mesmo que multiplicar a transformação do vetor por esse escalar. Isso é a homogeneidade.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Precisamos ver se
para quaisquer vetores
e
em
.
Vamos supor
e
.
Então,
.
Aplicando
a esse resultado:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a aditividade está confirmada.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se
para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
.
Vamos considerar
sendo um número real e
.
Multiplicando
por
:
Aplicando
a esse resultado:
Simplificando:
Por outro lado, calculamos
:
Vemos que
, então a homogeneidade também está confirmada.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma Transformação Linear.