Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o complemento da interseção de três conjuntos A, B e C é igual à união dos complementos desses conjuntos. O tema aqui é Teoria dos Conjuntos, e vamos usar as Leis de De Morgan para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção e a união de conjuntos. A interseção A ∩ B ∩ C representa todos os elementos que estão em todos os três conjuntos ao mesmo tempo. Já a união representa todos os elementos que não estão em pelo menos um dos conjuntosA, B ou C.
Passo 3
O complemento de um conjunto, como , inclui todos os elementos que não estão na interseção A ∩ B ∩ C. Ou seja, são todos os elementos que não estão simultaneamente em A, B e C.
Passo 4
As Leis de De Morgan nos dizem que o complemento da interseção de conjuntos é igual à união dos complementos desses conjuntos. Para três conjuntos, a lei é expressa como:
Isso significa exatamente o que o exercício está pedindo para mostrar.
Passo 5
Para comprovar isso, vamos considerar um elemento qualquer x e verificar se ele pertence a e a .
Se , então xnão está em A ∩ B ∩ C. Isso significa que pelo menos um dos conjuntos A, B ou C não contém x. Portanto, x deve estar em , ou em , ou em , o que implica que .
Vice-versa, se , então pelo menos um dos complementos de A, B ou C contém x. Isso significa que xnão está em pelo menos um dos conjuntos A, B ou C, logo, xnão está na interseção A ∩ B ∩ C, ou seja, .