Considerando A, B e C conjuntos, mostre que:
c sobrelinha(A interseção B interseção C) = sobrelinha(A) união sobrelinha(B) união sobrelinha(C)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o complemento da interseção de três conjuntos A, B e C é igual à união dos complementos desses conjuntos. O tema aqui é Teoria dos Conjuntos, e vamos usar as Leis de De Morgan para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção e a união de conjuntos. A interseção A ∩ B ∩ C representa todos os elementos que estão em todos os três conjuntos ao mesmo tempo. Já a união representa todos os elementos que não estão em pelo menos um dos conjuntos A, B ou C.

Passo 3

O complemento de um conjunto, como , inclui todos os elementos que não estão na interseção A ∩ B ∩ C. Ou seja, são todos os elementos que não estão simultaneamente em A, B e C.

Passo 4

As Leis de De Morgan nos dizem que o complemento da interseção de conjuntos é igual à união dos complementos desses conjuntos. Para três conjuntos, a lei é expressa como:
Isso significa exatamente o que o exercício está pedindo para mostrar.

Passo 5

Para comprovar isso, vamos considerar um elemento qualquer x e verificar se ele pertence a e a .
  • Se , então x não está em A ∩ B ∩ C. Isso significa que pelo menos um dos conjuntos A, B ou C não contém x. Portanto, x deve estar em , ou em , ou em , o que implica que .
  • Vice-versa, se , então pelo menos um dos complementos de A, B ou C contém x. Isso significa que x não está em pelo menos um dos conjuntos A, B ou C, logo, x não está na interseção A ∩ B ∩ C, ou seja, .

Resposta

Assim, demonstramos que:

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