Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(b) Existe uma única transformação linear tar que e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se existe uma única transformação linear que transforma o vetor em e o vetor em . Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que preservam a estrutura linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear satisfaz duas propriedades principais:
Adição vetorial:
Multiplicação por escalar:
Essas propriedades vão nos ajudar a verificar se a transformação dada pode existir de forma consistente.
Passo 3
Observando os vetores e , percebemos que é simplesmente o vetor multiplicado por 2, ou seja:
Isso significa que, se a transformação for linear, então:
Passo 4
Sabemos que , então:
Portanto, segundo a propriedade da linearidade, deveria ser igual a .
Passo 5
No entanto, o enunciado nos diz que . Agora temos:
Isso cria uma contradição, pois não é igual a .
Passo 6
Essa contradição nos mostra que não é possível ter uma transformação linear que satisfaça ambas as condições simultaneamente. Ou seja, não existe uma transformação linear que transforma em e em .
Resposta
Não existe uma transformação linear que satisfaça e . A contradição nas propriedades lineares impede essa existência.