Seja
A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ]=
(a) Encontre os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ] :
Esse tipo de problema faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são os valores de 3 -3 -1 que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Como é uma matriz triangular (todos os valores abaixo da diagonal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz :
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - 3I = [ccc 0 & 0 & -4 0 & -6 & 5 0 & 0 & -4 ] , precisamos resolver a equação 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 0 cdot v1 - 6 v2 + 5 v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 , onde t 0 0 é o autovetor.
Vamos fazer isso para cada autovalor:
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação, vemos que . Substituindo na segunda equação, temos , então . pode ser qualquer valor, vamos chamar de .
Então, os autovetores correspondentes a são da forma , onde é um número real não nulo.

Passo 4

Para A + 3I = [ccc 6 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & 2 ] :
6 v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 5 v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 2 v3 = 0
Resolvendo 0 s 0 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda e terceira equação, vemos que . Substituindo na primeira equação, temos , então . pode ser qualquer valor, vamos chamar de .
Então, os autovetores correspondentes a são da forma , onde é um número real não nulo.

Passo 5

Para A + I = [ccc 4 & 0 & -4 0 & -2 & 5 0 & 0 & 0 ] :
4 v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 0 cdot v1 - 2 v2 + 5 v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 v3 = 0
Resolvendo r 52 r r :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, implica . Da segunda equação, implica . Vamos chamar .
Então, os autovetores correspondentes a são da forma , onde é um número real não nulo.

Resposta

Os autovalores de lambda1 = 3 &: v = t 0 0 , , t neq 0 lambda2 = -3 &: v = 0 s 0 , , s neq 0 lambda3 = -1 &: v = r 52 r r , , r neq 0 são , e .
Os autovetores correspondentes são:
onde , e são números reais não nulos.

Exercícios relacionados

Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(a) Existé uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,2)=(1,0) e T(3,-1)=(0,1).
Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(b) Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tar que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,5)
Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
© Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,2)
Seja
A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ]=
(b) Calcule A^1721