Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ] :
Esse tipo de problema faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são os valores de 3 -3 -1 que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Como é uma matriz triangular (todos os valores abaixo da diagonal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz :
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - 3I = [ccc 0 & 0 & -4 0 & -6 & 5 0 & 0 & -4 ] , precisamos resolver a equação 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 0 cdot v1 - 6 v2 + 5 v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 - 4 v3 = 0 , onde t 0 0 é o autovetor.
Vamos fazer isso para cada autovalor:
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação, vemos que . Substituindo na segunda equação, temos , então . pode ser qualquer valor, vamos chamar de .
Então, os autovetores correspondentes a são da forma , onde é um número real não nulo.