Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(a) Existé uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,2)=(1,0) e T(3,-1)=(0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se existe uma única transformação linear que transforma os vetores em e em . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz A = a & b c & d tal que . No caso, será uma matriz . Vamos chamar os elementos dessa matriz de:

Passo 3

Sabemos que:
T(1,2) = A 1 2 = a(1) + b(2) c(1) + d(2) = 1 0
Isso nos dá o sistema de equações:
a + 2b = 1 c + 2d = 0

Passo 4

Da mesma forma, temos:
T(3,-1) = A 3 -1 = a(3) + b(-1) c(3) + d(-1) = 0 1
Isso nos dá outro sistema de equações:
3a - b = 0 3c - d = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado. Primeiro, juntamos todas as equações:
a + 2b = 1 c + 2d = 0 3a - b = 0 3c - d = 1

Passo 6

Resolvendo as equações para e :
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 7

Agora, resolvendo para e :
Da quarta equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 8

Agora que encontramos todos os valores:
a = 17, b = 37, c = 27, d = -17
Portanto, a matriz A = 17 & 37 27 & -17 que representa a transformação linear é:

Resposta

Sim, existe uma única transformação linear T(x) = 17 & 37 27 & -17 x definida por:

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Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(b) Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tar que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,5)
Reduza as matrizes abaixo à forma escalonada:
B=(cc1 & -4 0 & 2)
Seja
A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ]=
(a) Encontre os autovalores e autovetores de A.
Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
© Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,2)