Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(a) Existé uma única transformação linear tal que e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se existe uma única transformação linear que transforma os vetores em e em . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . No caso, será uma matriz . Vamos chamar os elementos dessa matriz de:
Passo 3
Sabemos que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Da mesma forma, temos:
Isso nos dá outro sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado. Primeiro, juntamos todas as equações:
Passo 6
Resolvendo as equações para e :
Da terceira equação: →
Substituindo na primeira equação: → → →
Então,
Passo 7
Agora, resolvendo para e :
Da quarta equação: →
Substituindo na segunda equação: → → →
Então,
Passo 8
Agora que encontramos todos os valores:
a = 17, b = 37, c = 27, d = -17
Portanto, a matriz A = 17 & 37 27 & -17 que representa a transformação linear é:
Resposta
Sim, existe uma única transformação linear T(x) = 17 & 37 27 & -17 x definida por: