Considere a a equação da onda unidimensional
partial^2 upartial t^2=r^2 partial^2 upartial x^2, t>0, 0
Montre que, para L>0 e alpha in R fixados, a função u(t, x)=a sen(5 pi xL) cos (5 pi c tL) satisfaz a equação da onda unidimensional.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que uma determinada função satisfaz a equação da onda unidimensional. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e entender a forma geral da equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada:

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de partial upartial t = -a sen(5 pi xL) cdot 5 pi cL sen(5 pi c tL) em relação ao tempo partial^2 upartial t^2 = -a sen(5 pi xL) cdot (5 pi cL)^2 cos(5 pi c tL) :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial upartial x = a cdot 5 piL cos(5 pi xL) cos(5 pi c tL) em relação ao espaço partial^2 upartial x^2 = -a cdot (5 piL)^2 sen(5 pi xL) cos(5 pi c tL) :

Passo 5

A equação da onda unidimensional é dada por:
partial^2 upartial t^2 = r^2 partial^2 upartial x^2
Substituindo as derivadas calculadas:

Passo 6

Simplificando os sinais negativos e os termos comuns:
(cL)^2 = r^2 (1L)^2
c^2 = r^2
Portanto, .

Resposta

A função satisfaz a equação da onda unidimensional quando .

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