Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
não tem limite quando o ponto
se aproxima de
. Isso está ligado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para provar que o limite não existe, vamos ver se diferentes caminhos de aproximação levam a resultados diferentes. Se isso acontecer, confirma que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho onde y é zero, ou seja, aproximar
ao longo do eixo x. Quando
, a função fica:
À medida que
se aproxima de 0,
também tende a 0. Então, pelo caminho
:
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente, por exemplo, onde
. Substituindo isso na função:
Podemos fatorar
do denominador:
Quando
se aproxima de 0,
também tende a 0, então:
Passo 4
Vamos tentar um terceiro caminho, por exemplo,
. Substituindo na função:
Aqui, novamente, quando
se aproxima de 0,
tende a 0:
Passo 5
Vamos escolher um caminho onde y cresce mais rápido, por exemplo,
. Substituindo na função:
Fatorando
do denominador:
Novamente, quando
tende a 0:
Passo 6
Agora, vamos escolher um caminho onde y se aproxima de 0 mais devagar, como
. Substituindo:
Quando
tende a 0:
Passo 7
Vamos tentar um caminho mais extremo, como
. Substituindo:
Mais uma vez, quando
se aproxima de 0:
Passo 8
Percebemos que, independentemente do caminho escolhido até agora, o limite da função está sempre tendendo a 0. Isso sugere que o limite pode existir e ser igual a 0. Mas para concluir que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes. Como todos os caminhos que tentamos deram 0, não conseguimos provar que o limite não existe dessa forma.
Passo 9
Na verdade, a função
tem limite igual a 0 quando
se aproxima de
. Isso porque, para qualquer caminho que a gente escolha, o valor da função tende a 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite da função
quando
é 0.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)
i)
3.1 Introdução à Transformada de Laplace
- Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a)
R.:
Sabendo que
, calcule
.
Determine uma equação de uma circunferência que satisfaça as condições dadas. Centro na origem, passa por