Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função não tem limite quando o ponto se aproxima de . Isso está ligado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para provar que o limite não existe, vamos ver se diferentes caminhos de aproximação levam a resultados diferentes. Se isso acontecer, confirma que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde y é zero, ou seja, aproximar ao longo do eixo x. Quando , a função fica:
À medida que se aproxima de 0, também tende a 0. Então, pelo caminho :

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente, por exemplo, onde . Substituindo isso na função:
Podemos fatorar do denominador:
Quando se aproxima de 0, também tende a 0, então:

Passo 4

Vamos tentar um terceiro caminho, por exemplo, . Substituindo na função:
Aqui, novamente, quando se aproxima de 0, tende a 0:

Passo 5

Vamos escolher um caminho onde y cresce mais rápido, por exemplo, . Substituindo na função:
Fatorando do denominador:
Novamente, quando tende a 0:

Passo 6

Agora, vamos escolher um caminho onde y se aproxima de 0 mais devagar, como . Substituindo:
Quando tende a 0:

Passo 7

Vamos tentar um caminho mais extremo, como . Substituindo:
Mais uma vez, quando se aproxima de 0:

Passo 8

Percebemos que, independentemente do caminho escolhido até agora, o limite da função está sempre tendendo a 0. Isso sugere que o limite pode existir e ser igual a 0. Mas para concluir que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes. Como todos os caminhos que tentamos deram 0, não conseguimos provar que o limite não existe dessa forma.

Passo 9

Na verdade, a função tem limite igual a 0 quando se aproxima de . Isso porque, para qualquer caminho que a gente escolha, o valor da função tende a 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite da função quando é 0.

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i)
3.1 Introdução à Transformada de Laplace
  1. Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
    (a)
    R.:
Sabendo que , calcule .
Determine uma equação de uma circunferência que satisfaça as condições dadas. Centro na origem, passa por