3.1 Introdução à Transformada de Laplace
  1. Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
    (a) f(x) = cosh(a x)
    R.: F(s) = s / (s^2 - a^2), |s| > a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar a função hiperbólica cosseno ( ) em termos exponenciais e conhecer a fórmula básica da Transformada de Laplace para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno pode ser escrita em termos de exponenciais. A definição da é:
Isso significa que podemos expressar como a média de duas funções exponenciais: uma crescendo e outra decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa expressão. A Transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada parte separadamente. Sabemos que:
Usando essa propriedade, vamos transformar cada termo da nossa expressão de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Somando as frações dentro dos parênteses:
Então, multiplicando por :

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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