3.1 Introdução à Transformada de Laplace
- Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a)
R.:
(a)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar a função hiperbólica cosseno (
) em termos exponenciais e conhecer a fórmula básica da Transformada de Laplace para funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno pode ser escrita em termos de exponenciais. A definição da
é:
Isso significa que podemos expressar
como a média de duas funções exponenciais: uma crescendo e outra decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa expressão. A Transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada parte separadamente. Sabemos que:
Usando essa propriedade, vamos transformar cada termo da nossa expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Somando as frações dentro dos parênteses:
Então, multiplicando por
:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; © descreva as curvas de nível da função.
l)
l)
(a)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)
i)
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
b)
b)