Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede pra mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. A gente vai usar conceitos de cálculo de limites em várias direções para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a função fica
.
Passo 3
Agora, para ver se o limite existe quando
se aproxima de
, vamos analisar o comportamento de
ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 4
Vamos escolher dois caminhos diferentes:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Esses caminhos são escolhidos porque eles tornam a análise mais simples e mostram comportamentos diferentes da função.
Passo 5
Analisando o Caminho 1:
Substituindo
por
na função:
Então, ao se aproximar de
por esse caminho, o limite de
é 2.
Passo 6
Analisando o Caminho 2:
Substituindo
por
na função:
Aqui, ao se aproximar de
por esse segundo caminho, o limite de
é 0.
Passo 7
Percebemos que pelo Caminho 1 o limite é 2, e pelo Caminho 2 o limite é 0. Como os limites dependem do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, isso significa que o limite geral da função
quando
não existe.
Resposta
A função
não possui um limite quando
se aproxima de
, já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites distintos.
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