Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede pra mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . A gente vai usar conceitos de cálculo de limites em várias direções para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a função fica .

Passo 3

Agora, para ver se o limite existe quando se aproxima de , vamos analisar o comportamento de ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 4

Vamos escolher dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2:
Esses caminhos são escolhidos porque eles tornam a análise mais simples e mostram comportamentos diferentes da função.

Passo 5

Analisando o Caminho 1:
Substituindo por na função:
Então, ao se aproximar de por esse caminho, o limite de é 2.

Passo 6

Analisando o Caminho 2:
Substituindo por na função:
Aqui, ao se aproximar de por esse segundo caminho, o limite de é 0.

Passo 7

Percebemos que pelo Caminho 1 o limite é 2, e pelo Caminho 2 o limite é 0. Como os limites dependem do caminho que escolhemos para nos aproximar de , isso significa que o limite geral da função quando não existe.

Resposta

A função não possui um limite quando se aproxima de , já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites distintos.

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