Encontre os pivôs e resolva o seguinte sistema linear:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente tem aqui é um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos identificar os pivôs (que são elementos-chave em métodos como a eliminação de Gauss) e resolver o sistema usando a eliminação gaussiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização e o uso de operações de linha para resolver o sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , , , e o termo constante à direita da igualdade.

Passo 3

Agora, vamos começar a transformar a matriz para encontrar os pivôs. O pivot é o primeiro elemento não nulo em cada linha, e queremos que abaixo de cada pivot, os elementos sejam zero. Isso facilita a solução das incógnitas. Vamos começar pela primeira linha.
Primeira linha já tem o pivot na primeira coluna. Queremos zerar o elemento abaixo desse pivot na segunda linha. Para isso, vamos adicionar metade da primeira linha à segunda linha:
Fazendo isso:
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a terceira linha. Queremos zerar o elemento abaixo do pivot da segunda coluna. Primeiro, identificamos o pivot na segunda linha, que é . Para zerar o elemento da terceira linha nessa coluna ( ), vamos adicionar da segunda linha à terceira linha:
Fazendo os cálculos:
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 5

Por último, vamos tratar da quarta linha. Queremos zerar o elemento abaixo do pivot da terceira coluna. O pivot na terceira linha é . Para zerar o elemento da quarta linha nessa coluna ( ), vamos adicionar da terceira linha à quarta linha:
Calculando:
A quarta linha agora é:

Passo 6

Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos identificar os pivôs:
  • Primeiro pivot: na primeira coluna.
  • Segundo pivot: na segunda coluna.
  • Terceiro pivot: na terceira coluna.
  • Quarto pivot: na quarta coluna.
Com os pivôs identificados, podemos resolver o sistema de baixo para cima.

Passo 7

Vamos começar pela quarta equação:
Agora que temos , vamos para a terceira equação:

Passo 8

Com e , vamos para a segunda equação:

Passo 9

Finalmente, com , e , vamos para a primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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