é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial:
E nos diz que esse campo é conservativo. Nosso objetivo aqui é determinar a função
que faz com que o campo seja conservativo. Para isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo, que, em termos simples, significa que o campo pode ser derivado de uma função potencial
. Vamos precisar dos teoremas de campos conservativos e das condições de igualdade das derivadas parciais para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Isso implica que:
Além disso, para que o campo seja conservativo, ele deve satisfazer as condições de integrabilidade:
Vamos aplicar essas condições para encontrar
.
Passo 3
Primeiro, identifiquemos as componentes do nosso campo
:
Agora, aplicamos as condições de integrabilidade:
- Primeira condição:
Calculemos
:
Agora, sabemos que
, então temos:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, já que a integral em relação a
inclui uma constante de integração que pode depender das outras variáveis.
- Segunda condição:
Calculemos
:
E
:
Observamos que essa condição já está satisfeita, então não nos dá novas informações sobre
.
- Terceira condição:
Calculemos
:
E
, onde
:
Portanto, temos:
Aqui,
é outra função de integração que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos:
Mas ainda não sabemos o que é
. Para determinar
, vamos voltar à primeira expressão que encontramos para
:
Como nosso objetivo é encontrar
que satisfaz todas as condições, e já usamos todas as condições de integrabilidade, percebemos que
pode ser qualquer função de
. No entanto, para simplificar, podemos assumir que
, já que qualquer função adicionada não afetará a condição de conservatividade do campo.
Resposta
Portanto, a função
que torna o campo
conservativo é:
Exercícios relacionados
Denotando por
e
os lados de um retângulo cujo perímetro é igual a 100, determine o domínio e a expressão da função
que fornece o comprimento da diagonal do retângulo em função de
.
Um grama de gelo, inicialmente a
, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido
, em calorias, para que a amostra atinja temperatura
, em
. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em
. Quando atinge
, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em
.
Determine a expressão de , para
.
Determine a expressão de
É possível que um sistema linear de duas variáveis tenha exatamente cinco soluções? Por quê?
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando