F = (x^3 y - 3 x^2 z)i + N(x, y, z)j + (2 y z - x^3)k
é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial:
E nos diz que esse campo é conservativo. Nosso objetivo aqui é determinar a função que faz com que o campo seja conservativo. Para isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo, que, em termos simples, significa que o campo pode ser derivado de uma função potencial . Vamos precisar dos teoremas de campos conservativos e das condições de igualdade das derivadas parciais para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que:
Isso implica que:
Além disso, para que o campo seja conservativo, ele deve satisfazer as condições de integrabilidade:
Vamos aplicar essas condições para encontrar .

Passo 3

Primeiro, identifiquemos as componentes do nosso campo :
Agora, aplicamos as condições de integrabilidade:
  1. Primeira condição:
Calculemos :
Agora, sabemos que , então temos:
Aqui, é uma função que depende apenas de e , já que a integral em relação a inclui uma constante de integração que pode depender das outras variáveis.
  1. Segunda condição:
Calculemos :
E :
Observamos que essa condição já está satisfeita, então não nos dá novas informações sobre .
  1. Terceira condição:
Calculemos :
E , onde :
Portanto, temos:
Aqui, é outra função de integração que depende apenas de .

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos:
Mas ainda não sabemos o que é . Para determinar , vamos voltar à primeira expressão que encontramos para :
Como nosso objetivo é encontrar que satisfaz todas as condições, e já usamos todas as condições de integrabilidade, percebemos que pode ser qualquer função de . No entanto, para simplificar, podemos assumir que , já que qualquer função adicionada não afetará a condição de conservatividade do campo.

Resposta

Portanto, a função que torna o campo conservativo é:

Exercícios relacionados