Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e queremos mostrar que, quando
se aproxima de
por caminhos diferentes, o limite dessa função não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar a função por diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função em várias variáveis. A ideia é que, para o limite existir em
, o valor da função deve se aproximar do mesmo número, não importa por qual caminho você chegue lá.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes que se aproximam de
e calcular o limite da função
em cada um deles. Se os limites forem diferentes, isso mostra que o limite geral não existe.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo por
na função:
Substituindo
Aqui, o denominador é zero e o numerador é
, que também se aproxima de zero. Isso significa que a função não está definida nesse caminho específico, mas sugere uma possível indeterminação ou comportamento não limitado.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo por
na função:
Substituindo
Aqui, para qualquer
, a função vale 1. Então, à medida que
se aproxima de 0, o limite é 1.
Passo 6
Caminho 3:
Substituindo por
na função:
Substituindo
Nesse caso, a função vale 0 para qualquer
. Então, à medida que
se aproxima de 0, o limite é 0.
Passo 7
Observando os resultados dos diferentes caminhos:
- No Caminho 1, a função não está bem definida.
- No Caminho 2, o limite é 1.
- No Caminho 3, o limite é 0.
Como temos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de
, isso mostra que o limite geral da função
quando
não existe.
Resposta
A função
não possui limite quando
se aproxima de
, pois valores diferentes são alcançados ao se aproximar por caminhos distintos.
Exercícios relacionados
Encontre os limites:
Encontre os limites:
Se
, deve ser definida em
? Justifique sua resposta.
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.