Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos mostrar que, quando se aproxima de por caminhos diferentes, o limite dessa função não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar a função por diferentes caminhos que levam ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função em várias variáveis. A ideia é que, para o limite existir em , o valor da função deve se aproximar do mesmo número, não importa por qual caminho você chegue lá.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes que se aproximam de e calcular o limite da função em cada um deles. Se os limites forem diferentes, isso mostra que o limite geral não existe.

Passo 4

Caminho 1:
Substituindo por na função:
Aqui, o denominador é zero e o numerador é , que também se aproxima de zero. Isso significa que a função não está definida nesse caminho específico, mas sugere uma possível indeterminação ou comportamento não limitado.

Passo 5

Caminho 2:
Substituindo por na função:
Aqui, para qualquer , a função vale 1. Então, à medida que se aproxima de 0, o limite é 1.

Passo 6

Caminho 3:
Substituindo por na função:
Nesse caso, a função vale 0 para qualquer . Então, à medida que se aproxima de 0, o limite é 0.

Passo 7

Observando os resultados dos diferentes caminhos:
  • No Caminho 1, a função não está bem definida.
  • No Caminho 2, o limite é 1.
  • No Caminho 3, o limite é 0.
Como temos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de , isso mostra que o limite geral da função quando não existe.

Resposta

A função não possui limite quando se aproxima de , pois valores diferentes são alcançados ao se aproximar por caminhos distintos.

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Encontre os limites:
Encontre os limites:
Se , deve ser definida em ? Justifique sua resposta.
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.