Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
(b) Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado nos dá uma desigualdade envolvendo
e
e pede para calcular um limite específico quando
se aproxima de
. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e o uso da desigualdade para auxiliar no cálculo. Vamos precisar entender como usar a desigualdade para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto) para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a expressão do limite:
Queremos descobrir para qual valor essa expressão se aproxima quando
e
vão para zero.
Passo 3
Vamos analisar a desigualdade que foi dada:
Essa desigualdade está nos mostrando que
está entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por
(lembrando que
é positivo, então a desigualdade se mantém):
Isso simplifica a expressão que estamos tentando encontrar o limite.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite das duas extremidades quando
se aproxima de
:
- Para a esquerda:
- Para a direita:
Passo 6
Pelo Teorema do Sandwich, se
e ambos os limites laterais são iguais a 2, então o limite que queremos também é 2.
Resposta
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Se
, deve ser definida em
? Justifique sua resposta.
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
:
Encontre os limites:
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.