Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos dá uma desigualdade envolvendo e e pede para calcular um limite específico quando se aproxima de . O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e o uso da desigualdade para auxiliar no cálculo. Vamos precisar entender como usar a desigualdade para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto) para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão do limite:
Queremos descobrir para qual valor essa expressão se aproxima quando e vão para zero.

Passo 3

Vamos analisar a desigualdade que foi dada:
Essa desigualdade está nos mostrando que está entre e .

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por (lembrando que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Isso simplifica a expressão que estamos tentando encontrar o limite.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite das duas extremidades quando se aproxima de :
  • Para a esquerda:
  • Para a direita:

Passo 6

Pelo Teorema do Sandwich, se e ambos os limites laterais são iguais a 2, então o limite que queremos também é 2.

Resposta

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Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando .