Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
2|x y|-x^2 y^26<4-4 cos raiz|x y|<2|x y|
você pode dizer algo sobre
lim (x, y) (0,0) 4-4 cos raiz|x y||x y| ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos dá uma desigualdade envolvendo e e pede para calcular um limite específico quando se aproxima de . O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e o uso da desigualdade para auxiliar no cálculo. Vamos precisar entender como usar a desigualdade para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto) para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão do limite:
lim (x, y) (0,0) 4-4 cos raiz|x y||x y|
Queremos descobrir para qual valor essa expressão se aproxima quando e vão para zero.

Passo 3

Vamos analisar a desigualdade que foi dada:
2|x y| - x^2 y^26 < 4 - 4 cos raiz|x y| < 2|x y|
Essa desigualdade está nos mostrando que está entre e .

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por 2 - |xy|6 < 4 - 4 cos raiz|x y||x y| < 2 (lembrando que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Isso simplifica a expressão que estamos tentando encontrar o limite.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite das duas extremidades quando se aproxima de :
  • Para a esquerda:
  • Para a direita:

Passo 6

Pelo Teorema do Sandwich, se e ambos os limites laterais são iguais a 2, então o limite que queremos também é 2.

Resposta

lim (x, y) (0,0) 4-4 cos raiz|x y||x y| = 2

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