Se
, deve ser definida em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se, se o limite de uma função
quando
se aproxima de
é igual a
, então a função precisa ser definida nesse ponto
. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em duas variáveis. Dizemos que
se, ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Agora, vamos entender se a função
precisa estar definida exatamente no ponto
. A definição de limite não exige que a função esteja definida no ponto em si; ela apenas considera o comportamento da função conforme nos aproximamos desse ponto.
Passo 4
Porém, se quisermos que a função seja contínua no ponto
, então sim, precisamos que ela esteja definida lá e que o valor dela seja igual ao limite
. Mas, se a questão é apenas sobre a existência do limite, não é necessário que a função esteja definida nesse ponto.
Passo 5
Então, resumindo: a existência do limite
não obriga que a função
esteja definida em
. A função pode ou não estar definida nesse ponto independentemente do limite existir.
Resposta
Não, a função
não precisa necessariamente estar definida no ponto
apenas porque o limite existe nesse ponto.
Exercícios relacionados
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
:
Encontre os limites:
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Encontre os limites: