Se , deve ser definida em ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se, se o limite de uma função quando se aproxima de é igual a , então a função precisa ser definida nesse ponto . Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em duas variáveis. Dizemos que se, ao nos aproximarmos de por qualquer caminho, os valores de se aproximam de .

Passo 3

Agora, vamos entender se a função precisa estar definida exatamente no ponto . A definição de limite não exige que a função esteja definida no ponto em si; ela apenas considera o comportamento da função conforme nos aproximamos desse ponto.

Passo 4

Porém, se quisermos que a função seja contínua no ponto , então sim, precisamos que ela esteja definida lá e que o valor dela seja igual ao limite . Mas, se a questão é apenas sobre a existência do limite, não é necessário que a função esteja definida nesse ponto.

Passo 5

Então, resumindo: a existência do limite não obriga que a função esteja definida em . A função pode ou não estar definida nesse ponto independentemente do limite existir.

Resposta

Não, a função não precisa necessariamente estar definida no ponto apenas porque o limite existe nesse ponto.

Exercícios relacionados

Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando :
Encontre os limites:
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Encontre os limites: