Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Queremos mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho ao longo do eixo x, ou seja, onde
. Substituindo
na função:
Aqui,
é a função sinal, que vale
para
e
para
. Então:
- Se
, - Se
,
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
na função:
Então:
- Se
, - Se
,
Resposta
Como ao nos aproximarmos de
pelo eixo x o limite varia entre
e
, e pelo caminho
varia entre
e
, os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido. Portanto, a função
não possui limite quando
.
Exercícios relacionados
Encontre os limites:
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.