Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Queremos mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho ao longo do eixo x, ou seja, onde . Substituindo na função:
Aqui, é a função sinal, que vale para e para . Então:
  • Se ,
  • Se ,

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, . Substituindo na função:
Então:
  • Se ,
  • Se ,

Resposta

Como ao nos aproximarmos de pelo eixo x o limite varia entre e , e pelo caminho varia entre e , os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido. Portanto, a função não possui limite quando .

Exercícios relacionados

Encontre os limites:
Use esse resultado para confirmar as suas respostas nos exercícios abaixo.
(b) Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando .
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.