Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Queremos mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o caminho ao longo do eixo x, ou seja, onde
. Substituindo
na função:
Aqui,
é a função sinal, que vale
para
e
para
. Então:
- Se
, - Se
,
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
na função:
Então:
- Se
, - Se
,
Resposta
Como ao nos aproximarmos de
pelo eixo x o limite varia entre
e
, e pelo caminho
varia entre
e
, os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido. Portanto, a função
não possui limite quando
.