Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando (x, y) -> (0, 0). f(x, y) = -x / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Queremos mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho ao longo do eixo x, ou seja, onde . Substituindo na função:
Aqui, é a função sinal, que vale para e para . Então:
  • Se ,
  • Se ,

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, . Substituindo na função:
Então:
  • Se ,
  • Se ,

Resposta

Como ao nos aproximarmos de pelo eixo x o limite varia entre e , e pelo caminho varia entre e , os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido. Portanto, a função não possui limite quando .

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