Encontre os limites: lim (x, y) (1,1) x^2-2 x y+y^2x-y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite da seguinte função quando lim (x, y) (1,1) x^2-2 x y+y^2x-y se aproxima de :
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e entender como ela se comporta perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Essa expressão parece um pouco complicada, mas dá para simplificar!

Passo 3

Percebe que (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 é na verdade igual a . Isso porque:
Então, podemos reescrever o numerador dessa forma.

Passo 4

Agora, substituímos o numerador simplificado na expressão original:
(x - y)^2x - y = x - y
Viu? A fração ficou muito mais simples: apenas .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o limite de lim (x, y) (1,1) (x - y) = 1 - 1 = 0 quando se aproxima de :

Resposta

O limite é 0.

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