Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma desigualdade envolvendo a função arco-tangente (arctg) e queremos descobrir o limite dessa função quando as variáveis
e
se aproximam de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite, trabalhar com desigualdades e aplicar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade dada:
Essa desigualdade nos mostra que a razão
está sempre entre
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar:
Para isso, vamos analisar o comportamento das duas extremidades da desigualdade quando
e
se aproximam de zero.
Passo 4
Vamos calcular o limite do lado esquerdo da desigualdade:
Porque
tende a zero conforme
e
vão para zero.
Passo 5
Agora, o limite do lado direito da desigualdade é simplesmente:
Passo 6
Com isso, temos que:
Ou seja, a razão
está “presa” entre 1 e 1 quando
e
se aproximam de zero.
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está limitada por duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Resposta
O limite
é igual a 1.