Sabendo que
1-x^2 y^23
você pode dizer algo sobre
lim (x, y) (0,0) arctg x yx y ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma desigualdade envolvendo a função arco-tangente (arctg) e queremos descobrir o limite dessa função quando as variáveis e se aproximam de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite, trabalhar com desigualdades e aplicar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade dada:
1 - x^2 y^23 < arctg(xy)xy < 1
Essa desigualdade nos mostra que a razão está sempre entre e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar:
lim (x, y) (0,0) arctg(xy)xy
Para isso, vamos analisar o comportamento das duas extremidades da desigualdade quando e se aproximam de zero.

Passo 4

Vamos calcular o limite do lado esquerdo da desigualdade:
lim (x, y) (0,0) (1 - x^2 y^23) = 1 - 0 = 1
Porque tende a zero conforme e vão para zero.

Passo 5

Agora, o limite do lado direito da desigualdade é simplesmente:
lim (x, y) (0,0) 1 = 1

Passo 6

Com isso, temos que:
1 <= lim (x, y) (0,0) arctg(xy)xy <= 1
Ou seja, a razão está “presa” entre 1 e 1 quando e se aproximam de zero.

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está limitada por duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
lim (x, y) (0,0) arctg(xy)xy = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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