Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo multivariável. A ideia é mostrar que a função
não tem limite quando o ponto
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples: a reta
. Nesse caso, substituindo
por
na função, temos:
Então, quando nos aproximamos da origem pela reta
, o limite de
é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente: a reta
. Substituindo
por
na função, temos:
Aqui, a função fica indefinida porque estamos dividindo por zero. Mas para entender o comportamento, vamos considerar valores de
positivos e negativos:
- Se
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos), também é positivo, e a função tende a . - Se
se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos), é negativo, e a função tende a .
Isso mostra que, dependendo de como nos aproximamos pela reta
, os valores de
podem ficar arbitrariamente grandes positivos ou negativos.
Passo 4
Comparando os resultados dos dois caminhos:
- Pela reta
, o limite é 0. - Pela reta
, o limite não existe e tende ao infinito.
Como obtemos limites diferentes ao nos aproximarmos da origem por caminhos distintos, podemos concluir que a função
não tem um limite único quando
se aproxima de
.
Resposta
Não existe limite quando
para a função
.
Exercícios relacionados
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando
.
Encontre os limites:
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Sabendo que
, você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.