Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo multivariável. A ideia é mostrar que a função não tem limite quando o ponto se aproxima de . Para isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: a reta . Nesse caso, substituindo por na função, temos:
Então, quando nos aproximamos da origem pela reta , o limite de é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente: a reta . Substituindo por na função, temos:
Aqui, a função fica indefinida porque estamos dividindo por zero. Mas para entender o comportamento, vamos considerar valores de positivos e negativos:
  • Se se aproxima de 0 pela direita (valores positivos), também é positivo, e a função tende a .
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos), é negativo, e a função tende a .
Isso mostra que, dependendo de como nos aproximamos pela reta , os valores de podem ficar arbitrariamente grandes positivos ou negativos.

Passo 4

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Pela reta , o limite é 0.
  • Pela reta , o limite não existe e tende ao infinito.
Como obtemos limites diferentes ao nos aproximarmos da origem por caminhos distintos, podemos concluir que a função não tem um limite único quando se aproxima de .

Resposta

Não existe limite quando para a função .

Exercícios relacionados

Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando .
Encontre os limites:
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Sabendo que , você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.