Mostre que o limite não existe:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que o limite:
e
não existem. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de por caminhos diferentes.

Passo 3

Primeiro Caminho: Vamos fixar e ver o que acontece:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Segundo Caminho: Agora, vamos escolher :
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 5

Terceiro Caminho: Vamos escolher :
Substituindo por na expressão:
Agora, quando , , então o limite é:

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e pelo terceiro caminho), concluímos que o limite não existe.

Passo 7

Agora, vamos analisar o segundo limite:
Vamos seguir o mesmo processo de verificar diferentes caminhos.

Passo 8

Primeiro Caminho: Vamos fixar :
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 9

Segundo Caminho: Agora, vamos escolher :
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 10

Terceiro Caminho: Vamos escolher :
Substituindo por na expressão:
Então, pelo caminho , o limite é 1.

Passo 11

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e 1 pelo terceiro caminho), concluímos que o limite também não existe para essa expressão.

Resposta

Ambos os limites
e
não existem porque os valores do limite variam dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto .

Exercícios relacionados

Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Determine valor dos limites abaixo:
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando .