Mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que o limite:
e
não existem. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de
por caminhos diferentes.
Passo 3
Primeiro Caminho: Vamos fixar
e ver o que acontece:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Segundo Caminho: Agora, vamos escolher
:
Pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Terceiro Caminho: Vamos escolher
:
Substituindo
por
na expressão:
Agora, quando
,
, então o limite é:
Passo 6
Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e
pelo terceiro caminho), concluímos que o limite não existe.
Passo 7
Agora, vamos analisar o segundo limite:
Vamos seguir o mesmo processo de verificar diferentes caminhos.
Passo 8
Primeiro Caminho: Vamos fixar
:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 9
Segundo Caminho: Agora, vamos escolher
:
Pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 10
Terceiro Caminho: Vamos escolher
:
Substituindo
por
na expressão:
Então, pelo caminho
, o limite é 1.
Passo 11
Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e 1 pelo terceiro caminho), concluímos que o limite também não existe para essa expressão.
Resposta
Ambos os limites
e
não existem porque os valores do limite variam dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Determine
valor dos limites abaixo:
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.