Mostre que o limite não existe: lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que o limite:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
e
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4
não existem. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o que acontece quando nos aproximamos de por caminhos diferentes.

Passo 3

Primeiro Caminho: Vamos fixar x^2 cdot 0 cdot e^0x^4 + 4 cdot 0^2 = 0x^4 = 0 e ver o que acontece:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 4

Segundo Caminho: Agora, vamos escolher 0^2 cdot y cdot e^y0^4 + 4 y^2 = 04 y^2 = 0 :
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 5

Terceiro Caminho: Vamos escolher x^2 cdot x^2 cdot e^x^2x^4 + 4 (x^2)^2 = x^4 e^x^2x^4 + 4 x^4 = x^4 e^x^25 x^4 = e^x^25 :
Substituindo 15 por na expressão:
Agora, quando , , então o limite é:

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e pelo terceiro caminho), concluímos que o limite não existe.

Passo 7

Agora, vamos analisar o segundo limite:
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4
Vamos seguir o mesmo processo de verificar diferentes caminhos.

Passo 8

Primeiro Caminho: Vamos fixar 2x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0 :
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 9

Segundo Caminho: Agora, vamos escolher 2 cdot 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0y^4 = 0 :
Pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 10

Terceiro Caminho: Vamos escolher 2x cdot (x^1/2)^2x^2 + (x^1/2)^4 = 2x cdot xx^2 + x^2 = 2x^22x^2 = 1 :
Substituindo por na expressão:
Então, pelo caminho , o limite é 1.

Passo 11

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes (0 pelo primeiro e segundo caminho, e 1 pelo terceiro caminho), concluímos que o limite também não existe para essa expressão.

Resposta

Ambos os limites
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
e
lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^4
não existem porque os valores do limite variam dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto .

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