Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo dos valores de
. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de duas variáveis e calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar cada um desses pontos para a função dada no ponto
.
-
Valor da função no ponto
:
A função está definida como. -
Cálculo do limite quando
se aproxima de :
Para, a função é . Vamos calcular o limite:Substituindoe :
Passo 4
-
Comparando o limite com o valor da função no ponto:
- Limite: 4
- Valor da função: 6
Como, o limite não é igual ao valor da função no ponto.
Passo 5
Como o limite quando
se aproxima de
não é igual ao valor da função nesse ponto, a função
não é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de
é igual a 4, que é diferente do valor da função nesse ponto, que é 6.
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Determine
valor dos limites abaixo:
Determine
valor dos limites abaixo:
Mostre que o limite não existe:
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.