Verifique a continuidade da função no ponto indicado:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de . Queremos verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de duas variáveis e calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar cada um desses pontos para a função dada no ponto .
  1. Valor da função no ponto :
    A função está definida como .
  2. Cálculo do limite quando se aproxima de :
    Para , a função é .
    Vamos calcular o limite:
    Substituindo e :

Passo 4

  1. Comparando o limite com o valor da função no ponto:
    • Limite: 4
    • Valor da função: 6
    Como , o limite não é igual ao valor da função no ponto.

Passo 5

Como o limite quando se aproxima de não é igual ao valor da função nesse ponto, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de é igual a 4, que é diferente do valor da função nesse ponto, que é 6.

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Determine valor dos limites abaixo:
Determine valor dos limites abaixo:
Mostre que o limite não existe:
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando .