Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando .

Passo 1

Vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar o conceito de limites em funções de várias variáveis. A ideia é verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Isso significa que nos aproximamos da origem ao longo do eixo .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo , o limite da função é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente, onde . Isso significa que estamos nos aproximando da origem seguindo a curva .
Substituindo na função:
Calculando o limite quando tende a 0:
Aqui, o limite também é 0 ao seguirmos o caminho .

Passo 4

Vamos tentar um terceiro caminho para verificar se o limite permanece o mesmo. Considere o caminho onde .
Substituindo na função:
Podemos fatorar no numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Mais uma vez, o limite é 0 ao seguir o caminho .

Passo 5

Para confirmar que o limite realmente existe, precisamos que todos os caminhos possíveis resultem no mesmo limite. No entanto, vamos considerar um caminho diferente onde para .
Substituindo na função:
Aqui, oscila entre 0 e 1, então o limite depende do comportamento de e das oscilações de . Observamos que:
Como , pelo “Teorema do Sanduíche”, o limite também é 0 nesse caminho.

Resposta

Após analisar diversos caminhos de aproximação, todos levaram ao limite 0. Portanto, a função tem limite igual a 0 quando se aproxima de .

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