Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.
-
Passo 1
Vamos analisar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar o conceito de limites em funções de várias variáveis. A ideia é verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Isso significa que nos aproximamos da origem ao longo do eixo
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Então, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo
, o limite da função é 0.
Passo 3
Agora, vamos considerar um caminho diferente, onde
. Isso significa que estamos nos aproximando da origem seguindo a curva
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
tende a 0:
Aqui, o limite também é 0 ao seguirmos o caminho
.
Passo 4
Vamos tentar um terceiro caminho para verificar se o limite permanece o mesmo. Considere o caminho onde
.
Substituindo
na função:
Podemos fatorar
no numerador e denominador:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Mais uma vez, o limite é 0 ao seguir o caminho
.
Passo 5
Para confirmar que o limite realmente existe, precisamos que todos os caminhos possíveis resultem no mesmo limite. No entanto, vamos considerar um caminho diferente onde
para
.
Substituindo
na função:
Aqui,
oscila entre 0 e 1, então o limite depende do comportamento de
e das oscilações de
. Observamos que:
Como
, pelo “Teorema do Sanduíche”, o limite também é 0 nesse caminho.
Resposta
Após analisar diversos caminhos de aproximação, todos levaram ao limite 0. Portanto, a função
tem limite igual a 0 quando
se aproxima de
.
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Nos exercícios 2 a 7 , calcular a integral indefinida.
4)
4)
а)
b)