Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
Aqui, estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . A ideia é ver o que acontece com esse termo quando
fica muito grande.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por:
Como
fica bem pequeno quando
cresce, podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Então, substituindo na expressão do termo da série:
Isso significa que, à medida que
cresce, o termo se aproxima de 1.
Passo 5
Agora, observamos que se os termos de uma série não tendem a zero, a série não converge. De fato, como
pela Prova da Divergência, podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série diverge.