Teste a convergência ou divergência das séries
sum n sen(1 / n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
Aqui, estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando sum n cdot sen(1n) cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . A ideia é ver o que acontece com esse termo quando fica muito grande.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de sen(x) approx x - x^36 , a função seno pode ser aproximada por:
Como sen(1n) approx 1n - 16n^3 fica bem pequeno quando cresce, podemos usar essa aproximação:

Passo 4

Então, substituindo na expressão do termo da série:
Isso significa que, à medida que n cdot sen(1n) approx n ( 1n - 16n^3 ) = 1 - 16n^2 cresce, o termo se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, observamos que se os termos de uma série não tendem a zero, a série não converge. De fato, como
pela Prova da Divergência, podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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