Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
Aqui, estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . A ideia é ver o que acontece com esse termo quando fica muito grande.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por:
Como fica bem pequeno quando cresce, podemos usar essa aproximação:

Passo 4

Então, substituindo na expressão do termo da série:
Isso significa que, à medida que cresce, o termo se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, observamos que se os termos de uma série não tendem a zero, a série não converge. De fato, como
pela Prova da Divergência, podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 2 a 7 , calcular a integral indefinida.
4)
Determine se é continua em 0,1 e 2. Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando .
Verifique se a sequência converge ou diverge, onde:
а)