Considere uma esfera de raio centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio metros, bem no centro das coordenadas. O que a gente precisa fazer aqui é determinar o elemento de área vetorial na superfície dessa esfera e indicar para onde ele aponta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento de área na geometria. Em uma superfície, o elemento de área é uma pequena parcela que a gente usa para calcular áreas maiores através de integrais. Quando a gente trabalha com superfícies curvas, como uma esfera, é útil usar coordenadas que se adaptem a essa curvatura. Aqui, as coordenadas esféricas são perfeitas!

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, a posição de um ponto é descrita por três parâmetros: (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal). Para uma esfera de raio fixo metros, o elemento de área diferencial na superfície é dado pela fórmula:
Esse termo representa uma pequena área na superfície da esfera.

Passo 4

Agora, como queremos o elemento de área vetorial , precisamos considerar a direção desse vetor. Em coordenadas esféricas, o vetor normal à superfície da esfera aponta na direção radial, ou seja, na direção de , que é o vetor unitário na direção do raio.

Passo 5

Então, combinando o elemento de área escalar com a direção vetorial, temos:
Substituindo metros:

Resposta

O elemento de área vetorial na superfície da esfera é:
Ele aponta na direção radial, ou seja, na direção de .

Exercícios relacionados

Uma superfície cilíndrica é definida por . Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro.
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície superior e especifique sua direção.
Considere um campo escalar . Calcule o gradiente de e avalie-o no ponto .
Considerando o campo escalar em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano .