Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área
na superfície esférica e indique a sua direção.
a - Determine o elemento de área
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio
metros, bem no centro das coordenadas. O que a gente precisa fazer aqui é determinar o elemento de área vetorial
na superfície dessa esfera e indicar para onde ele aponta. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento de área na geometria. Em uma superfície, o elemento de área
é uma pequena parcela que a gente usa para calcular áreas maiores através de integrais. Quando a gente trabalha com superfícies curvas, como uma esfera, é útil usar coordenadas que se adaptem a essa curvatura. Aqui, as coordenadas esféricas são perfeitas!
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, a posição de um ponto é descrita por três parâmetros:
(raio),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). Para uma esfera de raio fixo
metros, o elemento de área diferencial
na superfície é dado pela fórmula:
Esse termo
representa uma pequena área na superfície da esfera.
Passo 4
Agora, como queremos o elemento de área vetorial
, precisamos considerar a direção desse vetor. Em coordenadas esféricas, o vetor normal à superfície da esfera aponta na direção radial, ou seja, na direção de
, que é o vetor unitário na direção do raio.
Passo 5
Então, combinando o elemento de área escalar com a direção vetorial, temos:
Substituindo
metros:
Resposta
O elemento de área vetorial na superfície da esfera é:
Ele aponta na direção radial, ou seja, na direção de
.
Exercícios relacionados
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro.
b - Calcule o fluxo do campo vetorial
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície superior
e especifique sua direção.
a - Determine o elemento de área
Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.
Considerando o campo escalar
em coordenadas esféricas, calcule o Laplaciano
.