Considerando o capacitor esférico descrito na questão 1:
a) Determine a densidade de energia, uE, na região interna do capacitor, ou seja, r e R1 , onde a distância r tem origem no centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar a densidade de energia elétrica dentro de um capacitor esférico. Isso significa que a gente precisa calcular em duas regiões diferentes: dentro da esfera interna ( ) e entre as duas esferas ( ). Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e energia armazenada em um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a densidade de energia elétrica uE = 12 epsilon0 E^2 é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico na região considerada. Então, o que precisamos agora é encontrar em cada uma das regiões.

Passo 3

Vamos começar com a região interna à esfera interna, onde E = 0 para r < R1 . Se assumirmos que a esfera interna está carregada de maneira uniforme, mas não há carga dentro do condutor, o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero. Portanto:
uE = 12 epsilon0 (0)^2 = 0
Assim, a densidade de energia será:

Passo 4

Agora, vamos para a região entre as duas esferas, onde E = 14pi epsilon0 cdot Qr^2 . Nessa região, o campo elétrico de uma esfera carregada é dado por:
uE = 12 epsilon0 ( 14pi epsilon0 cdot Qr^2 )^2
Aqui, uE = 12 epsilon0 cdot Q^2(4pi epsilon0)^2 r^4 = Q^232 pi^2 epsilon0 r^4 é a carga na esfera interna. Substituindo na fórmula da densidade de energia, temos:
Simplificando:

Resposta

A densidade de energia elétrica uE = 0, & para r < R1 Q^232 pi^2 epsilon0 r^4, & para R1 < r < R2 no capacitor esférico é:

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