Considerando que, caso exista, f^prime(a)=lim De, calcule:
c) f^prime(1), se f(x)=lx^2+1, se x<1 1+2 x, se x >= 1

Passo 1

Então, o desafio aqui é calcular a derivada de em usando a definição de derivada. A gente está lidando com uma função que é definida por partes, ou seja, ela muda sua expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar verificar a continuidade da função em e, se estiver contínua, calcular os limites das derivadas pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso é importante porque, para a derivada existir nesse ponto, a função precisa ser contínua ali.

Passo 3

Vamos calcular os limites quando limx to 1^- f(x) = (1)^2 + 1 = 2 se aproxima de 1 pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = 1 + 2(1) = 3 ) e pela direita ( ):
  • Pela esquerda ( ):
  • Pela direita ( ):

Passo 4

Agora, vamos ver o valor de f(1) = 1 + 2(1) = 3 :
limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 3
Comparando os limites:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

Como a função não é contínua em , a derivada não existe.

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