Considerando que, caso exista, f^prime(a)=lim De, calcule:
b) f^prime(3), se f(x)=raiz[3]x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de f^prime(a) = limDe no ponto . A derivada basicamente nos mostra a inclinação da tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos usar a definição de derivada:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f^prime(3) = limDe por 3 na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a expressão dentro do limite. Para facilitar, vamos lembrar que f^prime(3) = limDe pode ser escrita como . Assim, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a regra do binômio para pequenos incrementos (3 + De. Sabemos que para quando é muito pequeno. Aqui, , , e :

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão da derivada:
f^prime(3) = limDe

Passo 6

Simplificando os termos:
f^prime(3) = limDe
f^prime(3) = limDe

Passo 7

Como o limite de uma constante é a própria constante, temos:
f^prime(3) = 13 cdot 3^-2/3

Passo 8

Vamos simplificar 3^-2/3 = 13^2/3 = 1raiz[3]9 :

Passo 9

Portanto, a derivada é:
f^prime(3) = 13 cdot raiz[3]9

Resposta

A derivada de f^prime(3) = 13 cdot raiz[3]9 no ponto é:

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