Considerando o conjunto R, determine o conjunto solução das inequações abaixo: | (5 x - 3) / (x + 2) | < 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, a gente está trabalhando com inequações envolvendo valores absolutos, que é um tema da Matemática, mais especificamente da Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de uma expressão, como , é a distância de até zero na reta numérica. Quando temos , isso significa que está entre -1 e 1. Então, podemos reescrever a inequação sem o valor absoluto assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade composta. Primeiro, precisamos considerar o denominador . É importante notar que não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida. Então, .

Passo 4

Vamos dividir a resolução em dois casos, dependendo do sinal do denominador :
Caso 1: (ou seja, )
Nesse caso, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por sem mudar o sentido das desigualdades:
Simplificando:
Resolvendo as duas partes separadamente:
Para a esquerda:
Para a direita:
Então, no caso 1, temos e . A interseção dessas condições é .
Caso 2: (ou seja, )
Nesse caso, ao multiplicar todos os lados da desigualdade por , que é negativo, invertemos o sentido das desigualdades:
Simplificando:
Resolvendo as duas partes separadamente:
Para a esquerda:
Para a direita:
Aqui, temos e , mas isso não faz sentido porque não existe número que seja ao mesmo tempo menor que e maior que . Então, não há solução nesse caso.

Resposta

O conjunto solução da inequação é .

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