Prove que N x R é não enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que o conjunto N x R não é enumerável. Basicamente, precisamos mostrar que não dá para listar todos os pares formados por um número natural e um número real de maneira que cada par apareça na lista. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre conjuntos contáveis e incontáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável ou contável. Um conjunto é enumerável se conseguirmos listar seus elementos em uma sequência infinita, ou seja, se houver uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais . Por exemplo, o conjunto dos números naturais N é contável porque podemos listá-los facilmente: 1, 2, 3, e assim por diante.

Passo 3

Agora, sabemos que o conjunto dos números reais R não é enumerável. Isso foi provado por Cantor usando o argumento da diagonal, mostrando que não conseguimos listar todos os números reais sem deixar nenhum de fora. Portanto, R é um exemplo de conjunto incontável.

Passo 4

Vamos analisar o produto cartesiano N x R, que consiste em todos os pares ordenados onde o primeiro elemento é um número natural e o segundo é um número real. Ou seja, elementos como (1, pi), , etc.

Passo 5

Para provar que N x R não é enumerável, vamos usar um conceito importante: o produto de um conjunto contável com um conjunto incontável é incontável. Aqui, N é contável e R é incontável.

Passo 6

Imagine que fosse possível listar todos os pares de N x R. Isso significaria que poderíamos associar cada par a um número natural único, criando uma lista completa. Porém, como R já não é enumerável, ao combinar com N, estamos basicamente tentando “copiar” essa incontabilidade para cada número natural, o que mantém o conjunto ainda incontável.

Passo 7

Além disso, podemos pensar que para cada número natural n, teríamos uma “cópia” de R correspondente a ele, resultando em uma infinidade de conjuntos não enumeráveis, o que, intuitivamente, não pode ser contado de forma enumerável.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto N x R não é enumerável.

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