Prove que
é não enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que o conjunto
não é enumerável. Basicamente, precisamos mostrar que não dá para listar todos os pares formados por um número natural e um número real de maneira que cada par apareça na lista. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especialmente sobre conjuntos contáveis e incontáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável ou contável. Um conjunto é enumerável se conseguirmos listar seus elementos em uma sequência infinita, ou seja, se houver uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais
. Por exemplo, o conjunto dos números naturais
é contável porque podemos listá-los facilmente: 1, 2, 3, e assim por diante.
Passo 3
Agora, sabemos que o conjunto dos números reais
não é enumerável. Isso foi provado por Cantor usando o argumento da diagonal, mostrando que não conseguimos listar todos os números reais sem deixar nenhum de fora. Portanto,
é um exemplo de conjunto incontável.
Passo 4
Vamos analisar o produto cartesiano
, que consiste em todos os pares ordenados onde o primeiro elemento é um número natural e o segundo é um número real. Ou seja, elementos como
,
, etc.
Passo 5
Para provar que
não é enumerável, vamos usar um conceito importante: o produto de um conjunto contável com um conjunto incontável é incontável. Aqui,
é contável e
é incontável.
Passo 6
Imagine que fosse possível listar todos os pares de
. Isso significaria que poderíamos associar cada par a um número natural único, criando uma lista completa. Porém, como
já não é enumerável, ao combinar com
, estamos basicamente tentando “copiar” essa incontabilidade para cada número natural, o que mantém o conjunto ainda incontável.
Passo 7
Além disso, podemos pensar que para cada número natural
, teríamos uma “cópia” de
correspondente a ele, resultando em uma infinidade de conjuntos não enumeráveis, o que, intuitivamente, não pode ser contado de forma enumerável.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
não é enumerável.